Qu'est-ce que le nombre de Stirling de seconde espèce ?
Le nombre de Stirling de seconde espèce, noté \(S(n,k)\), compte le nombre de façons de partitionner un ensemble de n éléments distincts (étiquetés) en exactement k sous-ensembles non vides et non étiquetés. C'est une grandeur fondamentale en combinatoire, qui intervient dans les problèmes de partitions d'ensembles, de surjections et de nombres de Bell. Il s'agit d'un outil de mathématiques pures, valable de la même manière partout dans le monde.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la taille de l'ensemble n et le nombre de sous-ensembles k. Les deux valeurs doivent être des entiers naturels. Cliquez sur « Calculer » pour obtenir \(S(n,k)\), le nombre exact de partitions. Si k est supérieur à n, le résultat vaut 0 : on ne peut pas remplir plus de sous-ensembles non vides qu'il n'y a d'éléments.
La formule expliquée
La forme explicite est $$S(n,k) = \frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom{k}{j} j^{n}$$ où \(C(k,j)\) désigne le coefficient binomial. Une approche équivalente et plus sûre numériquement repose sur la relation de récurrence $$S(n,k) = k\,S(n-1,k) + S(n-1,k-1)$$ avec les cas de base \(S(0,0)=1\), \(S(n,0)=0\) pour \(n>0\) et \(S(0,k)=0\) pour \(k>0\). Ce calculateur utilise la récurrence afin d'éviter les pertes de précision liées aux nombres à virgule flottante. Quelques cas particuliers utiles : \(S(n,1)=1\), \(S(n,n)=1\) et \(S(n,2)=2^{n-1}-1\).
Exemple détaillé
Pour \(n=5\) et \(k=2\) : en utilisant le cas particulier $$S(5,2)=2^{5-1}-1=16-1=15.$$ La récurrence le confirme : $$S(5,2)=2\cdot S(4,2)+S(4,1)=2\cdot 7+1=15.$$ Il existe donc 15 façons de répartir un ensemble de 5 éléments en deux groupes non vides.
FAQ
Pourquoi \(S(0,0)=1\) ? Par convention, l'ensemble vide admet exactement une partition en zéro parties : la partition vide.
Que se passe-t-il lorsque \(k > n\) ? Le résultat est 0, car chaque sous-ensemble doit être non vide et le nombre d'éléments est insuffisant.
Quel est le lien avec les nombres de Bell ? En additionnant \(S(n,k)\) pour tous les k allant de 0 à n, on obtient le nombre de Bell \(B(n)\), c'est-à-dire le nombre total de partitions d'un ensemble de n éléments.
