Calculadora de números de Stirling de segunda especie S(n,k)

Resultados

Stirling Number of the Second Kind S(5, 2)

ways to partition 5 labeled elements into 2 non-empty subsets

n (tamaño del conjunto)	5
k (subconjuntos)	2
Notación	S(n, k)

¿Qué es el número de Stirling de segunda especie?

El número de Stirling de segunda especie, que se escribe $S(n,k)$, cuenta de cuántas maneras se puede repartir un conjunto de n elementos distintos (etiquetados) en exactamente k subconjuntos no vacíos y sin etiquetar. Es una magnitud fundamental en combinatoria y aparece en problemas relacionados con las particiones de conjuntos, las funciones sobreyectivas y los números de Bell. Se trata de una herramienta de matemática pura, que funciona igual en cualquier parte del mundo.

Cuatro bolas etiquetadas agrupadas en dos cajas sin etiquetar mostrando una partición de conjunto — $S(n,k)$ cuenta las formas de dividir n elementos etiquetados en k grupos no vacíos y sin etiquetar.

Cómo usar esta calculadora

Introduce el tamaño del conjunto n y el número de subconjuntos k. Ambos deben ser enteros no negativos. Pulsa calcular para obtener $S(n,k)$, el recuento exacto de particiones. Si k es mayor que n, el resultado es 0, ya que no es posible llenar más subconjuntos no vacíos que elementos disponibles.

La fórmula explicada

La forma explícita es $$S(n,k) = \frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom{k}{j}\,j^{n}$$ donde $C(k,j)$ es el coeficiente binomial. Una alternativa equivalente y más segura desde el punto de vista numérico es la recurrencia $$S(n,k) = k\,S(n-1,k) + S(n-1,k-1)$$ con los casos base $S(0,0)=1$, $S(n,0)=0$ para $n>0$ y $S(0,k)=0$ para $k>0$. Esta calculadora emplea la recurrencia para evitar la cancelación propia de la coma flotante. Algunos casos particulares útiles: $S(n,1)=1$, $S(n,n)=1$ y $S(n,2)=2^{n-1}-1$.

Ejemplo resuelto

Para $n=5$ y $k=2$: usando el caso particular, $$S(5,2)=2^{5-1}-1=16-1=15.$$ La recurrencia lo confirma: $$S(5,2)=2\cdot S(4,2)+S(4,1)=2\cdot 7+1=15.$$ Por tanto, existen 15 maneras de dividir un conjunto de 5 elementos en dos grupos no vacíos.

Cuadrícula triangular de pequeños números de Stirling dispuestos como el triángulo de Pascal — Un triángulo de valores $S(n,k)$, cada uno formado a partir de las dos entradas superiores.

Preguntas frecuentes

¿Por qué $S(0,0)=1$? Por convenio, el conjunto vacío tiene exactamente una partición en cero partes: la partición vacía.

¿Qué ocurre cuando k > n? El resultado es 0, ya que todo subconjunto debe ser no vacío y no hay suficientes elementos.

¿Qué relación guarda con los números de Bell? Al sumar $S(n,k)$ para todos los valores de k desde 0 hasta n se obtiene el número de Bell $B(n)$, es decir, el total de particiones de un conjunto de n elementos.

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