¿Qué son los números de Stirling de segunda especie?
Un número de Stirling de segunda especie, que se escribe \(S(n,k)\) (también notado como {n sobre k} o \(S2(n,k)\)), cuenta de cuántas formas se puede repartir un conjunto de n objetos etiquetados (distinguibles) en exactamente k subconjuntos no vacíos y sin etiquetar (llamados bloques). Esta calculadora obtiene una fila completa: para un n fijo enumera \(S(n,k)\) con k = 0, 1, 2, ..., n, es decir, todos los valores de la fila n del triángulo de Stirling. Se trata de una cantidad combinatoria de matemáticas puras, sin ninguna dependencia regional.
Cómo usarla
Introduce un número entero no negativo n (la cantidad de elementos de tu conjunto) y pulsa calcular. La herramienta devuelve una tabla de dos columnas, k y \(S(n,k)\), junto con la suma de la fila, que coincide con el número de Bell \(B(n)\): una comprobación rápida muy útil. Todos los valores se calculan con enteros de precisión arbitraria, de modo que permanecen exactos incluso cuando crecen mucho más allá de lo que admite un número de 64 bits (algo que ocurre en torno a n = 20-25).
La fórmula explicada
El método más fiable es la recurrencia $$S(n,k) = k\cdot S(n-1,k) + S(n-1,k-1),$$ construida a partir del caso base \(S(0,0) = 1\). Los valores frontera son \(S(n,0) = 0\) para \(n \ge 1\), \(S(n,n) = 1\), \(S(n,1) = 1\) para \(n \ge 1\) y \(S(n,k) = 0\) cuando \(k > n\). También existe una fórmula cerrada explícita, $$S(n,k) = \frac{1}{k!} \sum (-1)^{k-j} C(k,j)\, j^n,$$ pero en coma flotante sufre grandes cancelaciones, así que aquí empleamos la recurrencia con enteros exactos.
Ejemplo resuelto (n = 5)
La fila 5 es: k=0 → 0, k=1 → 1, k=2 → 15, k=3 → 25, k=4 → 10, k=5 → 1. Lo comprobamos a partir de la fila 4 = [0,1,7,6,1]: $$S(5,2) = 2\cdot 7 + 1 = 15,$$ $$S(5,3) = 3\cdot 6 + 7 = 25,$$ $$S(5,4) = 4\cdot 1 + 6 = 10.$$ La fila suma \(0+1+15+25+10+1 = 52\), que es exactamente el número de Bell \(B(5) = 52\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué \(S(n,0) = 0\) para \(n \ge 1\)? No es posible repartir un conjunto no vacío en cero bloques; solo el conjunto vacío tiene la partición vacía, de ahí que \(S(0,0) = 1\).
¿Qué representa la suma de la fila? Sumar \(S(n,k)\) sobre todos los valores de k da el número de Bell \(B(n)\), el total de particiones de un conjunto de n elementos.
¿Hasta qué tamaño puede llegar n? Esta herramienta admite hasta n = 200; los valores se vuelven enormes, pero siguen siendo exactos gracias a la aritmética de enteros grandes.
