ما هي أعداد ستيرلنغ من النوع الثاني؟
عدد ستيرلنغ من النوع الثاني، ويُكتب \(S(n,k)\) (ويُرمز له أيضًا بـ {n فوق k} أو \(S_2(n,k)\))، يُحصي عدد الطرق الممكنة لتقسيم مجموعة مكوّنة من \(n\) عنصرًا مُميَّزًا (قابلًا للتمييز) إلى \(k\) مجموعة جزئية غير فارغة وغير مُرتَّبة (تُسمّى الكُتل أو الأقسام). تحسب هذه الأداة الصف كاملًا: فعند تثبيت قيمة \(n\) تَعرض القيمة \(S(n,k)\) لكل \(k = 0\)، 1، 2، ...، \(n\) — أي كل قيم الصف \(n\) في مثلث ستيرلنغ. وهذه كمية تَوافُقية رياضية بحتة لا ترتبط بأي بلد أو منطقة.
طريقة الاستخدام
أدخل عددًا صحيحًا غير سالب \(n\) (عدد عناصر مجموعتك) ثم اضغط للحساب. تُعيد الأداة جدولًا بعمودين هما \(k\) و \(S(n,k)\)، إضافةً إلى مجموع الصف، وهو عدد بِل \(B(n)\) — ويُمثّل وسيلة سريعة للتحقق من صحة النتائج. تُحسَب جميع القيم بأعداد صحيحة عالية الدقة (Arbitrary Precision)، فتبقى دقيقة تمامًا حتى عندما تتجاوز نطاق الأعداد ذات 64 بت (وهو ما يحدث عند \(n\) بين 20 و25 تقريبًا).
شرح الصيغة
أكثر الطرق متانةً هي العلاقة التراجعية $$S(n,k) = k\cdot S(n-1,\,k) + S(n-1,\,k-1)$$ التي تُبنى انطلاقًا من الحالة الأساسية \(S(0,0) = 1\). أما القيم الحدّية فهي: \(S(n,0) = 0\) عندما \(n \ge 1\)، و \(S(n,n) = 1\)، و \(S(n,1) = 1\) عندما \(n \ge 1\)، و \(S(n,k) = 0\) عندما \(k > n\). وهناك أيضًا صيغة صريحة مغلقة: $$S(n,k) = \frac{1}{k!} \cdot \sum (-1)^{k-j} \, C(k,j) \, j^n$$ لكنها تُعاني من فقدان كبير في الدقة بسبب الطرح المتبادل عند الحساب بالفاصلة العائمة، ولذلك نعتمد العلاقة التراجعية بأعداد صحيحة دقيقة.
مثال محلول (n = 5)
الصف 5 هو: \(k=0 \rightarrow 0\)، \(k=1 \rightarrow 1\)، \(k=2 \rightarrow 15\)، \(k=3 \rightarrow 25\)، \(k=4 \rightarrow 10\)، \(k=5 \rightarrow 1\). ويمكن التحقق منه انطلاقًا من الصف \(4 = [0، 1، 7، 6، 1]\): فإنّ $$S(5,2) = 2\cdot 7 + 1 = 15$$ و $$S(5,3) = 3\cdot 6 + 7 = 25$$ و $$S(5,4) = 4\cdot 1 + 6 = 10$$ ومجموع الصف هو \(0+1+15+25+10+1 = 52\)، وهو يساوي عدد بِل \(B(5) = 52\).
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون \(S(n,0) = 0\) عندما \(n \ge 1\)؟ لأنه لا يمكنك تقسيم مجموعة غير فارغة إلى صفر كُتلة؛ فالمجموعة الفارغة وحدها هي التي لها تقسيم فارغ، وهذا ما يعطي \(S(0,0) = 1\).
ما المقصود بمجموع الصف؟ جمع القيم \(S(n,k)\) على كل قيم \(k\) يُعطي عدد بِل \(B(n)\)، وهو إجمالي عدد طرق تقسيم مجموعة من \(n\) عنصرًا.
ما أقصى قيمة ممكنة لـ \(n\)؟ تسمح هذه الأداة بقيمة \(n\) تصل إلى 200؛ وتصبح القيم ضخمة جدًا لكنها تظل دقيقة بفضل الحساب بالأعداد الصحيحة الكبيرة (Big Integer).
