द्वितीय प्रकार की स्टर्लिंग संख्याएँ क्या हैं?
द्वितीय प्रकार की स्टर्लिंग संख्या, जिसे \(S(n,k)\) (या \(\left\{ {n \atop k} \right\}\) अथवा \(S2(n,k)\) के रूप में भी लिखा जाता है) कहते हैं, यह गिनती करती है कि n लेबल किए गए (एक-दूसरे से अलग पहचाने जा सकने वाले) वस्तुओं के समुच्चय को ठीक k गैर-रिक्त, बिना-लेबल वाले उपसमुच्चयों (जिन्हें ब्लॉक कहते हैं) में कितने तरीकों से बाँटा जा सकता है। यह कैलकुलेटर पूरी रो की गणना करता है: किसी निश्चित n के लिए यह k = 0, 1, 2, ..., n तक \(S(n,k)\) के सभी मान दिखाता है — यानी स्टर्लिंग त्रिकोण की रो n का हर मान। यह विशुद्ध गणित की एक संयोजनात्मक (कॉम्बिनेटोरियल) राशि है, जिसका किसी देश या क्षेत्र से कोई संबंध नहीं है।
इसका उपयोग कैसे करें
एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n दर्ज करें (आपके समुच्चय में तत्वों की संख्या) और सबमिट करें। यह टूल दो कॉलम — k और \(S(n,k)\) — वाली एक टेबल देता है, साथ ही रो-योग भी, जो बेल संख्या \(B(n)\) के बराबर होता है — जाँच के लिए एक आसान तरीका। सभी मान असीमित-परिशुद्धता वाले पूर्णांकों से गिने जाते हैं, इसलिए ये तब भी सटीक रहते हैं जब वे 64-बिट संख्या की सीमा से कहीं आगे बढ़ जाते हैं (जो लगभग n = 20–25 के आसपास होता है)।
सूत्र की व्याख्या
सबसे भरोसेमंद तरीका पुनरावृत्ति (रिकरेंस) है:
$$S(n,k) = k\cdot S(n-1,k) + S(n-1,k-1)$$जिसे आधार स्थिति \(S(0,0) = 1\) से बनाया जाता है। सीमावर्ती मान इस प्रकार हैं: \(n \ge 1\) के लिए \(S(n,0) = 0\), \(S(n,n) = 1\), \(n \ge 1\) के लिए \(S(n,1) = 1\), और \(k > n\) होने पर \(S(n,k) = 0\)। एक स्पष्ट बंद रूप (क्लोज़्ड फ़ॉर्म) भी मौजूद है:
$$S(n,k) = \frac{1}{k!} \cdot \sum (-1)^{k-j} \, C(k,j) \, j^n$$परंतु फ़्लोटिंग-पॉइंट गणना में इसमें बड़े पैमाने पर कटाव (कैंसलेशन) की समस्या आती है, इसलिए हम सटीक पूर्णांकों के साथ पुनरावृत्ति विधि का ही उपयोग करते हैं।
हल किया गया उदाहरण (n = 5)
रो 5 इस प्रकार है: k=0 → 0, k=1 → 1, k=2 → 15, k=3 → 25, k=4 → 10, k=5 → 1। रो 4 = [0,1,7,6,1] से जाँचें:
$$S(5,2) = 2\cdot 7 + 1 = 15$$$$S(5,3) = 3\cdot 6 + 7 = 25$$$$S(5,4) = 4\cdot 1 + 6 = 10$$पूरी रो का योग \(0+1+15+25+10+1 = 52\) है, जो बेल संख्या \(B(5) = 52\) के बराबर है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
\(n \ge 1\) के लिए \(S(n,0) = 0\) क्यों होता है? किसी गैर-रिक्त समुच्चय को शून्य ब्लॉकों में नहीं बाँटा जा सकता; केवल रिक्त समुच्चय में ही रिक्त विभाजन संभव है, इसलिए \(S(0,0) = 1\) होता है।
रो-योग क्या है? सभी k के लिए \(S(n,k)\) को जोड़ने पर बेल संख्या \(B(n)\) मिलती है, जो n तत्वों वाले समुच्चय के विभाजनों की कुल संख्या है।
n अधिकतम कितना बड़ा हो सकता है? यह टूल n = 200 तक की अनुमति देता है; मान बहुत विशाल हो जाते हैं, फिर भी बिग-इंटीजर अंकगणित की वजह से सटीक बने रहते हैं।
