यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी एक-चर फलन \(f(x)\) का किसी परिमित अंतराल \([a, b]\) पर निश्चित समाकलन डबल-एक्सपोनेंशियल (DE) क्वाड्रेचर से निकालता है, जिसे Tanh-Sinh विधि भी कहा जाता है। परिमित अंतरालों के लिए DE क्वाड्रेचर सबसे भरोसेमंद सामान्य-उद्देश्य विधियों में से एक है और उन समाकल्यों को संभालने में खास तौर पर माहिर है जो किसी सिरे पर अनंत हो जाते हैं — जैसे \(1/\sqrt{x}\) या \(\log(x)\) — जहाँ सामान्य गॉसियन या सिम्पसन नियम लड़खड़ा जाते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
समाकल्य f(x) बॉक्स में फलन को सामान्य गणितीय संकेतन में लिखें: + - * / ^, कोष्ठक, और फलन sqrt, exp, log, ln, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs के साथ-साथ अचर pi और e। निचली सीमा \(a\) और ऊपरी सीमा \(b\) दर्ज करें, कितने सार्थक अंकों तक सटीकता चाहिए वह चुनें, और सबमिट करें। विचित्रताएँ (singularities) केवल सिरों \(a\) और \(b\) पर ही स्वीकार्य हैं; इसके अलावा फलन खुले अंतराल \((a, b)\) पर विश्लेषक (analytic) होना चाहिए और आवर्ती (periodic) नहीं होना चाहिए।
सूत्र की व्याख्या
सबसे पहले अंतराल को \(x(u) = \frac{(b+a)+(b-a)u}{2}\) के द्वारा \([-1, 1]\) पर मैप किया जाता है। फिर DE रूपांतरण \(u = \tanh\!\left(\frac{\pi}{2}\sinh t\right)\) रेखा को इस तरह खींचता है कि जैसे-जैसे \(t\) बढ़ता है, \(u\) सिरों की ओर अति-घातांकीय (super-exponentially) गति से पहुँचता है, जबकि भार \(g'(t)\) उतनी ही तेज़ी से शून्य की ओर गिर जाता है। चूँकि नोड्स कभी ठीक \(a\) या \(b\) पर नहीं पड़ते, इसलिए सिरे की विचित्रता का कभी सीधे मूल्यांकन ही नहीं होता — वह "साध" ली जाती है। फिर रूपांतरित समाकल को चरण \(h\) के साधारण समलंब (trapezoidal) नियम से जोड़ा जाता है, और \(h\) को तब तक आधा किया जाता है जब तक उत्तर बदलना बंद न कर दे।
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\,h\sum_{k} w_k\, f\!\left(x_k\right)$$
$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{Lower limit} \\ b &= \text{Upper limit} \\ x_k &= \tfrac{b+a}{2} + \tfrac{b-a}{2}\tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right) \\ w_k &= \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(k h)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right)} \end{aligned} \right.$$
हल किया गया उदाहरण
\(f(x) = 1/\sqrt{x}\) के लिए \([0, 1]\) पर सटीक मान \([2\sqrt{x}]\) का \(0\) से \(1\) तक \(= 2\) होता है। एक मोटा 7-बिंदु DE ग्रिड (\(h = 0.5\)) ही लगभग \(1.94\) दे देता है; \(h\) को और महीन करने पर अनुमान \(2.000000000000000\) तक पहुँच जाता है। एक गैर-विचित्र जाँच, \(f(x) = x^2\) पर \([0, 1]\), परिणाम \(1/3 = 0.3333333333333\) देती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह अंतराल के भीतर की विचित्रता संभाल सकता है? नहीं — DE केवल सिरों पर ही विचित्रताएँ सहन करता है। यदि भीतर किसी बिंदु \(c\) पर विचित्रता हो, तो समाकल को \([a, c]\) और \([c, b]\) में बाँट लें और दोनों परिणामों को जोड़ दें।
आवर्ती (periodic) फलनों के लिए यह क्यों खराब है? चिकने आवर्ती समाकल्यों के लिए साधारण समलंब नियम पहले से ही घातांकीय रूप से अभिसरित हो जाता है, इसलिए DE चर-परिवर्तन चीज़ों को केवल धीमा ही करता है।
"अंक" वाली सेटिंग क्या करती है? यह वह सापेक्ष सहनशीलता (relative tolerance) तय करती है जो निर्णय करती है कि महीनकरण कब रुके, और प्रदर्शित मान को उसी के अनुसार पूर्णांकित करती है।
