ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة التكامل المحدد لدالة ذات متغير واحد \(f(x)\) على فترة منتهية \([a, b]\) باستخدام التربيع الأسي المزدوج (DE)، المعروف أيضاً باسم طريقة Tanh-Sinh. يُعدّ التربيع الأسي المزدوج من أكثر الطرق العامة موثوقية على الفترات المنتهية، وهو شهير بقدرته الفائقة على التعامل مع الدوال التي تتباعد قيمتها عند أحد الطرفين، مثل \(1/\sqrt{x}\) أو \(\log(x)\)، حيث تتعثّر قواعد جاوس أو سيمبسون التقليدية.
كيفية الاستخدام
اكتب الدالة المراد تكاملها في خانة الدالة f(x) باستخدام الصيغة الرياضية المعتادة: + - * / ^، والأقواس، والدوال sqrt, exp, log, ln, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs، إضافة إلى الثابتين pi وe. أدخل الحد الأدنى \(a\) والحد الأعلى \(b\)، واختر عدد الأرقام المعنوية المستهدفة، ثم اضغط للحساب. يُسمح بوجود الشذوذ عند الطرفين \(a\) و\(b\) فقط؛ أما في باقي الفترة المفتوحة \((a, b)\) فيجب أن تكون الدالة تحليلية، ولا ينبغي أن تكون دورية.
شرح الصيغة
أولاً تُحوَّل الفترة إلى \([-1, 1]\) عبر العلاقة \(x(u) = \frac{(b+a)+(b-a)u}{2}\). ثم يقوم التحويل الأسي المزدوج \(u = \tanh\!\left(\frac{\pi}{2}\sinh t\right)\) بمدّ المستقيم بحيث، كلما كبرت \(t\)، تقترب \(u\) من الطرفين بسرعة فوق-أسية بينما ينهار الوزن \(g'(t)\) إلى الصفر بالسرعة نفسها. ولأن العقد لا تقع أبداً تماماً عند \(a\) أو \(b\)، فإن الشذوذ عند الطرف لا يُحسَب فعلياً قط — بل يُروَّض. بعد ذلك يُجمَع التكامل المحوَّل باستخدام قاعدة شبه المنحرف البسيطة بخطوة \(h\)، وتُنصَّف \(h\) مراراً حتى تستقر النتيجة دون تغيّر.
$$\int_{\text{a}}^{\text{b}} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\,h\sum_{k} w_k\, f\!\left(x_k\right)$$
$$\begin{gathered} \int_{\text{a}}^{\text{b}} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\,h\sum_{k} w_k\, f\!\left(x_k\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{Lower limit} \\ b &= \text{Upper limit} \\ x_k &= \tfrac{b+a}{2} + \tfrac{b-a}{2}\tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right) \\ w_k &= \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(k h)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right)} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
مثال محلول
بالنسبة للدالة \(f(x) = 1/\sqrt{x}\) على \([0, 1]\)، القيمة المضبوطة هي \(\left[2\sqrt{x}\right]_{0}^{1} = 2\). شبكة DE خشنة من 7 نقاط (\(h = 0.5\)) تعطي بالفعل نحو \(1.94\)؛ وبتحسين \(h\) يقترب التقدير إلى \(2.000000000000000\). وكمثال خالٍ من الشذوذ، الدالة \(f(x) = x^2\) على \([0, 1]\) تُعيد \(1/3 = 0.3333333333333\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكنها التعامل مع شذوذ داخل الفترة؟ لا — تتحمّل طريقة DE الشذوذ عند الطرفين فقط. وإذا وُجد شذوذ داخلي عند نقطة \(c\)، فقسّم التكامل إلى \([a, c]\) و\([c, b]\) واجمع النتيجتين.
لماذا تكون ضعيفة مع الدوال الدورية؟ بالنسبة للدوال الدورية الملساء، تتقارب قاعدة شبه المنحرف البسيطة أصلاً تقارباً أسياً، لذا فإن تغيير المتغيرات في طريقة DE لا يفيد بل يُبطئ العملية.
ماذا يفعل إعداد عدد الأرقام؟ يحدّد التفاوت النسبي الذي يقرّر متى يتوقف التحسين، ويقرّب القيمة المعروضة وفقاً لذلك.
