ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بحساب قيمة تكامل محدّد عدديًا على مجال شبه لانهائي، أي \(I = \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx\)، باستخدام تربيع الأسّ المزدوج (DE) بالصيغة المصمّمة خصيصًا لنصف الخط المستقيم. وطريقة DE هي أسلوب شامل عالي الدقة يلائم بصفة خاصة الدوال التي تتناقص جبريًا (وفق قانون القوى، مثل \(1/x^{p}\)) نحو اللانهاية، وقد تحتوي على شذوذ خفيف عند الطرف السفلي \(x = a\). وهي ليست مخصّصة للدوال الدورية أو المتذبذبة.
طريقة الاستخدام
أدخل الدالة المكامَلة \(f(x)\) كتعبير رياضي بالمتغيّر \(x\) (يدعم العمليات + - * / ^ والأقواس، إضافة إلى sqrt وexp وlog وlog10 وsin وcos وtan وasin وacos وatan وsinh وcosh وtanh وabs، والثابتَين pi وe). ثم أدخل الحدّ السفلي المنتهي \(a\)، واختر عدد الأرقام المعنوية المراد عرضها، ثم اضغط للحساب. والنتيجة هي القيمة العددية للتكامل.
شرح الصيغة
يُحوَّل نصف الخط إلى الخط الحقيقي الكامل عبر تغيير المتغيّر \(\phi(t) = \exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\)، بحيث يمسح \(x = a + \phi(t)\) القيم بدءًا من \(a\) (عندما \(t \to -\infty\)) وصولًا إلى \(+\infty\). ومشتقّتها هي \(\phi^{\prime}(t) = \tfrac{\pi}{2}\cosh(t)\,\exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\). أما الدالة المحوَّلة \(g(t) = f(a + \phi(t))\,\phi^{\prime}(t)\) فتتناقص تناقصًا أسّيًا مزدوجًا عند كلا الطرفين، ولذلك تكون قاعدة شبه المنحرف البسيطة على شبكة منتظمة قريبة من المثالية: $$I \approx h\sum_{k=-N}^{N} g(kh).$$ أما العقد التي تتجاوز سعة التمثيل (عند قيم \(t\) الكبيرة) فيتم تخطّيها لأن الدالة المكامَلة تكون عندها قريبة من الصفر فعليًا.
مثال محلول
بالنسبة للدالة \(f(x) = \dfrac{1}{1 + x^{3/2}}\) مع \(a = 0\)، تكون القيمة الدقيقة هي \(\dfrac{4\pi}{3\sqrt{3}} \approx 2.4183991523\). ويعيد مجموع DE بقيمة \(h = 1/16\) إنتاج هذه القيمة بدقّة تصل إلى عدّة أرقام. فعند \(t = 0\): نجد \(\phi = 1\)، و\(x = 1\)، و\(f = 0.5\)، و\(\phi^{\prime} = \tfrac{\pi}{2} \approx 1.5708\)، ومن ثَمّ \(g \approx 0.7854\)؛ وبجمع جميع العقد الموزونة يتقارب الناتج نحو \(2.41840\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني استخدامها للدوال ذات التناقص الأسّي؟ نعم، تظلّ تعمل، لكن هناك تحويل DE مختلف يتقارب أسرع في حالة التناقص الأسّي الصِّرف؛ أما هذه الصيغة فهي موجّهة للتناقص الجبري.
لماذا تفشل مع الدالة المتذبذبة؟ لأن مجموع شبه المنحرف لتذبذب لا يتناقص لا يتقارب، ولذلك فإن تربيع DE لنصف الخط غير مناسب في تلك الحالة.
ما الذي يغيّره إعداد عدد الأرقام؟ يغيّر التقريب المعروض فقط؛ أما الحساب الداخلي فيستخدم دائمًا الدقّة المزدوجة الكاملة.
