![حاسبة تربيع Tanh-Sinh للتكامل على فترة منتهية [a, b]](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/thumb-flat-49552738d5/tanh-sinh-quadrature-calculator.png)
ما هي طريقة تربيع Tanh-Sinh؟
تُعدّ طريقة تربيع Tanh-Sinh، المعروفة أيضًا بقاعدة الأسّية المزدوجة (DE)، من أقوى طرق التكامل العددي لحساب التكاملات المحدّدة على فترة منتهية [a, b]، وتتألق بصفة خاصة عندما تحتوي الدالة المُكامَلة على تفردات عند طرفي الفترة. تعتمد الطريقة على تغيير المتغيّر \(u = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t)\right)\)، الذي يُحوّل طرفي الفترة إلى \(t = \pm\infty\). وبالقرب من هذين الطرفين تتلاشى مساهمة الدالة بشكل أسّي مزدوج، ولهذا يمكن تكامل حتى الدوال التي تنفجر قيمها عند \(a\) أو \(b\) (مثل \(\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)) بدقة عالية. هذه أداة رياضية عالمية تنطبق في كل مكان.
كيفية الاستخدام
أدخل دالتك \(f(x)\) باستخدام الترميز القياسي (العمليات + - * / ^، والأقواس، والدوال مثل sin وcos وexp وlog وsqrt وabs، إضافةً إلى الثابتين pi وe). حدّد الحدّ الأدنى \(a\)، والحدّ الأعلى \(b\)، وعدد التقسيمات \(n\) الذي يتحكّم في كثافة العُقد. كلما زادت قيمة \(n\) تحسّنت الدقة مع زيادة تكلفة الحساب؛ والمدى العملي المعتاد يتراوح بين 50 و400. يجب أن تكون الدالة تحليلية على الفترة المفتوحة (لا بأس بوجود تفردات عند الأطراف) وألّا تكون دورية.
شرح الصيغة
تُطبَّع الفترة أولًا إلى [-1, 1] عبر العلاقة \(x = \tfrac{b-a}{2}u + \tfrac{a+b}{2}\) مع \(dx = \tfrac{b-a}{2}\,du\). ثم تستخدم قاعدة DE العُقد \(t_k = k\,h\)، والإحداثيات \(u_k = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)\)، والأوزان \(w_k = \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(t_k)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)}\). ويُقرّب التكامل بالعلاقة
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\, h \sum_{k=-N}^{N} w_k\, f\!\left(\frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,x_k\right)$$أما العُقد التي ينخفض وزنها إلى الصفر (الأطراف المُشبَعة) فيتم تخطّيها، ما يتجنّب تقييم الدالة عند الحدود التي قد تكون متفرّدة.
مثال محلول
لنُكامل الدالة \(f(x) = \exp(-x^2)\) على الفترة [0, 1]. القيمة الدقيقة هي \(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\operatorname{erf}(1) \approx 0.7468241\). وباستخدام خطوة خشنة (\(h = 0.5\)، \(N = 4\)) تُعطي القاعدة بالفعل نحو \(0.7467\)؛ ومع القيمة الافتراضية \(n = 100\) تتطابق النتيجة حتى اثني عشر رقمًا تقريبًا.
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني تكامل دوال بها تفردات عند الأطراف؟ نعم، وهذا هو نقطة القوة الأساسية لهذه الطريقة. فهي تتعامل مع التفردات القابلة للتكامل عند \(a\) أو \(b\) بسلاسة.
لماذا تُهمّ الدورية؟ صُمّمت قاعدة الأسّية المزدوجة للدوال غير الدورية؛ أما الدوال الدورية فتتقارب فيها قاعدة شبه المنحرف (trapezoidal) بشكل أسرع، وقد تكون قاعدة DE غير دقيقة معها.
ماذا لو كان \(a\) يساوي \(b\)؟ يكون التكامل صفرًا. وإذا كان \(a\) أكبر من \(b\) فإن النتيجة تُعطى بإشارة سالبة صحيحة لأن العامل \(\tfrac{b-a}{2}\) يحمل الإشارة.
