Калькулятор квадратуры tanh-sinh для конечного интервала [a, b]

Введите расчет

f(x)

Нижний предел a

Верхний предел b

Число разбиений n

Результатов

Значение интеграла

0,7468241328

приближённое значение определённого интеграла на отрезке [a, b]

Метод	Tanh-sinh (двойная экспонента)
Разбиения n	100
Число вычислений функции	201

Что такое квадратура tanh-sinh?

Квадратура tanh-sinh, известная также как правило двойной экспоненты (DE), — это метод численного интегрирования, который особенно хорошо справляется с определёнными интегралами на конечном отрезке [a, b], в первую очередь когда подынтегральная функция имеет особенности на концах интервала. В его основе лежит замена переменной \(u = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t)\right)\), отображающая концы отрезка в точки \(t = \pm\infty\). Вблизи этих концов вклад функции убывает дважды экспоненциально, поэтому даже функции, обращающиеся в бесконечность в точках a или b (например, \(1/\sqrt{1-x^2}\)), интегрируются с высокой точностью. Это инструмент универсальной математики, применимый в любой стране.

Двойная экспоненциальная замена переменной отображает вещественную прямую на (-1, 1), сгущая узлы к концам.

Как пользоваться

Введите функцию f(x) в стандартной записи (операторы + - * / ^, скобки, а также функции sin, cos, exp, log, sqrt, abs и константы pi и e). Укажите нижний предел a, верхний предел b и число разбиений n, которое определяет плотность узлов. Чем больше n, тем выше точность, но и дольше вычисления; на практике обычно достаточно диапазона 50–400. Подынтегральная функция должна быть аналитической на открытом интервале (особенности на концах допустимы) и не должна быть периодической.

Разбор формулы

Сначала отрезок приводится к [-1, 1] с помощью замены \(x = \tfrac{b-a}{2}u + \tfrac{a+b}{2}\) и \(dx = \tfrac{b-a}{2}\,du\). Затем правило DE использует узлы \(t_k = k\,h\), абсциссы \(u_k = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)\) и веса \(w_k = \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(t_k)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)}\). Интеграл приближается выражением

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\, h \sum_{k=-N}^{N} w_k\, f\!\left(\frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,x_k\right)$$

Узлы, чей вес обнуляется из-за машинного потери разрядности (насыщенные концы), пропускаются — так удаётся избежать вычислений в потенциально особых граничных точках.

Узлы сгущаются вблизи концов a и b, поэтому особенности на концах обрабатываются точно.

Разобранный пример

Проинтегрируем \(f(x) = \exp(-x^2)\) на отрезке [0, 1]. Точное значение равно \(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\operatorname{erf}(1) \approx 0{,}7468241\). Даже при грубом шаге (\(h = 0{,}5\), \(N = 4\)) правило уже даёт около \(0{,}7467\); а при значении по умолчанию \(n = 100\) результат совпадает примерно до двенадцати знаков.

Частые вопросы

Можно ли интегрировать функции с особенностями на концах? Да — это и есть главное преимущество метода. Интегрируемые особенности в точках a или b обрабатываются корректно.

Почему важна непериодичность? Правило двойной экспоненты настроено на непериодические функции; для периодических быстрее сходится формула трапеций, а метод DE может давать неточные результаты.

Что будет, если a равно b? Интеграл равен нулю. Если a > b, результат корректно меняет знак, так как множитель \(\tfrac{b-a}{2}\) несёт в себе знак.