परिमित अंतराल [a, b] के लिए Tanh-Sinh क्वाड्रेचर कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

f(x)

निचली सीमा a

ऊपरी सीमा b

उपविभाजनों की संख्या n

परिणाम

समाकलन का मान

0.7468241328

[a, b] पर निश्चित समाकलन का सन्निकट मान

विधि	Tanh-Sinh (डबल एक्सपोनेंशियल)
उपविभाजन n	100
उपयोग किए गए फलन मूल्यांकन	201

Tanh-Sinh क्वाड्रेचर क्या है?

Tanh-Sinh क्वाड्रेचर, जिसे डबल एक्सपोनेंशियल (DE) नियम भी कहा जाता है, एक संख्यात्मक समाकलन (numerical integration) विधि है जो किसी परिमित अंतराल [a, b] पर निश्चित समाकलन निकालने में बेहद कारगर है—खासकर तब जब इंटीग्रैंड के सिरों (endpoints) पर सिंगुलैरिटी हो। यह विधि चर परिवर्तन \( u = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t)\right) \) लागू करती है, जो दोनों सिरों को \( t = \pm\infty \) पर भेज देता है। इन सिरों के पास इंटीग्रैंड का योगदान डबल-एक्सपोनेंशियल दर से घटता है, इसलिए ऐसे फलन भी जो a या b पर अनंत हो जाते हैं (जैसे \( 1/\sqrt{1-x^2} \)) सटीकता से समाकलित किए जा सकते हैं। यह टूल सार्वभौमिक गणित पर आधारित है और हर जगह लागू होता है।

द्वि-घातांकी चर परिवर्तन वास्तविक रेखा को (-1, 1) पर मैप करता है, जिससे नोड्स सिरों की ओर एकत्रित होते हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

अपना फलन \( f(x) \) मानक संकेतन में दर्ज करें (ऑपरेटर + - * / ^, कोष्ठक, और sin, cos, exp, log, sqrt, abs जैसे फलन, साथ ही स्थिरांक pi और e)। निचली सीमा a, ऊपरी सीमा b, और उपविभाजनों की संख्या n दें, जो नोड घनत्व को नियंत्रित करती है। बड़ा n सटीकता बढ़ाता है पर गणना की लागत भी बढ़ाता है; व्यवहार में 50–400 का दायरा सामान्य है। इंटीग्रैंड खुले अंतराल पर विश्लेषी (analytic) होना चाहिए (सिरों पर सिंगुलैरिटी ठीक है) और आवर्ती (periodic) नहीं होना चाहिए।

सूत्र की व्याख्या

सबसे पहले अंतराल को \( x = \tfrac{b-a}{2}u + \tfrac{a+b}{2} \) और \( dx = \tfrac{b-a}{2}\,du \) के द्वारा [-1, 1] पर सामान्यीकृत किया जाता है। फिर DE नियम नोड \( t_k = k h \), भुज (abscissa) \( u_k = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right) \) और भार (weights) \( w_k = \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(t_k)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)} \) का उपयोग करता है। समाकलन का सन्निकटन निम्न सूत्र के योग से किया जाता है:

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\, h \sum_{k=-N}^{N} w_k\, f\!\left(\frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,x_k\right)$$

जिन नोड का भार शून्य तक घट (underflow) जाता है (संतृप्त सिरे) उन्हें छोड़ दिया जाता है, जिससे संभावित सिंगुलर सीमाओं पर मूल्यांकन से बचा जा सके।

नोड्स सिरों a और b के पास एकत्रित होते हैं, इसलिए सिरों की विचित्रताएँ सटीकता से संभाली जाती हैं।

हल किया गया उदाहरण

\( f(x) = e^{-x^2} \) को [0, 1] पर समाकलित करें। सटीक मान $$\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\operatorname{erf}(1) \approx 0.7468241$$ है। मोटे चरण (\( h = 0.5 \), \( N = 4 \)) पर भी यह नियम लगभग 0.7467 दे देता है; और डिफ़ॉल्ट \( n = 100 \) के साथ यह करीब बारह अंकों तक सही बैठता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या मैं सिरों पर सिंगुलैरिटी वाले फलन समाकलित कर सकता हूँ? हाँ—यही इस विधि की सबसे बड़ी खूबी है। a या b पर समाकलनीय सिंगुलैरिटी को यह सहजता से संभाल लेती है।

आवर्तीयता (periodicity) क्यों मायने रखती है? डबल-एक्सपोनेंशियल नियम गैर-आवर्ती इंटीग्रैंड के लिए बना है; आवर्ती फलनों के लिए ट्रैपेज़ॉइडल नियम तेज़ी से अभिसरित होता है और DE गलत हो सकता है।

अगर a, b के बराबर हो तो? समाकलन शून्य होगा। अगर a > b हो तो परिणाम सही ढंग से ऋणात्मक हो जाता है, क्योंकि \( \tfrac{b-a}{2} \) गुणांक चिह्न को अपने साथ ले जाता है।