यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी फलन f(x) का निश्चित समाकल पूरी वास्तविक रेखा पर, यानी ऋण अनंत से धन अनंत तक, डबल-एक्सपोनेंशियल (DE) क्वाड्रेचर का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से ज्ञात करता है — जिसे tanh-sinh परिवार या Takahasi-Mori विधि भी कहते हैं। चिकने (smooth) समाकल्यों (integrands) के लिए DE क्वाड्रेचर सबसे कुशल सामान्य-उद्देश्य विधियों में से एक है और इसका अभिसरण आश्चर्यजनक रूप से तेज़ होता है: सही अंकों की संख्या नमूना बिंदुओं की संख्या के लगभग रैखिक अनुपात में बढ़ती है।
इसका उपयोग कैसे करें
f(x) के लिए एक गणितीय व्यंजक लिखें जिसमें x, संक्रियक + - * / ^, कोष्ठक, तथा exp, log/ln, sin, cos, tan, sqrt, abs और atan जैसे मानक फलनों का प्रयोग कर सकते हैं। फिर तय करें कि आपको कितने सार्थक अंक (6 से 50) चाहिए। अधिक परिशुद्धता के लिए अधिक बारीक स्टेप साइज़ और अधिक चौड़ा परिच्छेदन (truncation) परास प्रयुक्त होता है। समाकल्य वास्तविक रेखा पर विश्लेषणात्मक होना चाहिए और x बढ़ने पर क्षयित (decay) होना चाहिए; यह आवर्ती (periodic) या बिना क्षय के दोलायमान नहीं होना चाहिए।
सूत्र की व्याख्या
DE विधि चर-परिवर्तन \(x = \sinh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\) लागू करती है, जिसका अवकलज \(\phi'(t) = \tfrac{\pi}{2}\cosh t\,\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\) है। प्रतिस्थापन के बाद समाकल, t के सापेक्ष \(f(\phi(t))\,\phi'(t)\) का समाकल बन जाता है। चूँकि |t| बढ़ने पर \(\phi'(t)\) डबल एक्सपोनेंशियल की तरह क्षयित होता है, समान स्टेप h वाला सरल समलंब (trapezoidal) नियम,
$$I \approx h \cdot \sum f(\phi(kh))\,\phi'(kh)$$अत्यंत सटीक हो जाता है। कैलकुलेटर एक मोटे स्टेप से शुरू करता है, फिर h को बार-बार आधा करता है (नोड्स पुनः उपयोग करते हुए) जब तक कि लगातार दो अनुमान वांछित सहनशीलता तक सहमत न हो जाएँ।
हल किया गया उदाहरण
\(f(x) = \tfrac{1}{1+x^2}\) के लिए सटीक समाकल
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx = \left[\arctan x\right]_{-\infty}^{\infty} = \pi \approx 3.14159265358979$$है। स्टेप 0.5 और नोड्स \(k = -8..8\) के साथ एक मोटा DE योग पहले ही लगभग \(3.15\) देता है; स्टेप को बारीक करने पर यह pi के पूर्ण-परिशुद्धता मान तक अभिसरित हो जाता है। इसी तरह \(\exp(-x^2)\) का परिणाम \(\sqrt{\pi} \approx 1.77245385090552\) मिलता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह "अभिसरित नहीं हुआ" क्यों कहता है? अधिकतर तब जब समाकल अपसारी (diverge) होता है (समाकल्य क्षयित नहीं होता, जैसे \(f = 1\)) या फलन आवर्ती/दोलायमान होता है। DE क्वाड्रेचर एक गैर-आवर्ती, अंतबिंदु-विश्लेषणात्मक समाकल्य मानकर चलता है।
मुझे कितनी परिशुद्धता चुननी चाहिए? 15 अंक डबल-परिशुद्धता के बराबर हैं और एक अच्छा डिफ़ॉल्ट हैं। डबल-परिशुद्धता जितना समर्थन कर सके उससे कहीं अधिक अंक माँगने से उत्तर बेहतर नहीं होगा।
क्या मैं विचित्र (singular) फलनों का समाकलन कर सकता हूँ? यह विधि अंतबिंदु व्यवहार को सह लेती है क्योंकि चरम नोड्स का भार लगभग शून्य होता है, परन्तु वास्तविक अक्ष पर आंतरिक ध्रुव (poles) इसे विफल कर देंगे।
