Ce que fait ce calculateur
Cet outil évalue numériquement l'intégrale définie d'une fonction f(x) sur l'ensemble de la droite réelle, de moins l'infini à plus l'infini, à l'aide de la quadrature double-exponentielle (DE) — également connue sous le nom de famille tanh-sinh ou méthode de Takahasi-Mori. La quadrature DE figure parmi les schémas généraux les plus efficaces pour les intégrandes régulières et converge à une vitesse remarquable : le nombre de chiffres exacts croît presque linéairement avec le nombre de points d'échantillonnage.
Mode d'emploi
Saisissez une expression mathématique pour f(x) en utilisant x, les opérateurs + - * / ^, des parenthèses et les fonctions usuelles comme exp, log/ln, sin, cos, tan, sqrt, abs et atan. Choisissez ensuite le nombre de chiffres significatifs souhaité (de 6 à 50). Une précision plus élevée implique un pas plus fin et une plage de troncature plus large. L'intégrande doit être analytique sur la droite réelle et doit décroître lorsque x augmente ; elle ne doit être ni périodique ni osciller sans décroître.
La formule expliquée
La méthode DE applique le changement de variable \(x = \sinh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\), dont la dérivée vaut \(\phi'(t) = \tfrac{\pi}{2}\cosh t\,\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\). Après substitution, l'intégrale devient celle de \(f(\phi(t))\,\phi'(t)\) en t. Comme \(\phi'(t)\) décroît comme une double exponentielle lorsque \(|t|\) augmente, la simple règle des trapèzes avec un pas uniforme \(h\),
$$I \approx h \sum f(\phi(kh))\,\phi'(kh),$$devient extrêmement précise. Le calculateur part d'un pas grossier, puis divise \(h\) par deux à plusieurs reprises (en réutilisant les nœuds) jusqu'à ce que deux estimations successives concordent à la tolérance demandée.
Exemple détaillé
Pour \(f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}\), l'intégrale exacte est \([\arctan x]\) de moins à plus l'infini \(= \pi \approx 3{,}14159265358979\). Une somme DE grossière avec un pas de \(0{,}5\) sur les nœuds \(k = -8..8\) donne déjà environ \(3{,}15\) ; en affinant le pas, on converge vers la valeur de \(\pi\) à pleine précision. De même, \(\exp(-x^2)\) renvoie \(\sqrt{\pi} \approx 1{,}77245385090552\).
FAQ
Pourquoi affiche-t-il « pas de convergence » ? Le plus souvent, c'est que l'intégrale diverge (l'intégrande ne décroît pas, par exemple \(f = 1\)) ou que la fonction est périodique/oscillante. La quadrature DE suppose une intégrande non périodique et analytique aux extrémités.
Quelle précision choisir ? 15 chiffres correspond à la double précision et constitue une bonne valeur par défaut. Demander bien plus de chiffres que ne peut en gérer la double précision n'améliorera pas le résultat.
Puis-je intégrer des fonctions singulières ? La méthode tolère le comportement aux extrémités car les nœuds extrêmes sont pondérés à presque zéro, mais des pôles intérieurs sur l'axe réel la mettent en échec.
