Calculateur de l'intégrale cosinus Ci(x)

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x (argument réel) Domain: x > 0. Negative values use Ci(|x|).

Résultats

Intégrale cosinus Ci(x)

0,3374039229

sans dimension

Méthode	Power series (|x| ≤ 6) / asymptotic expansion (|x| > 6)
Constante d'Euler-Mascheroni	0.5772156649015329

Qu'est-ce que l'intégrale cosinus Ci(x) ?

L'intégrale cosinus, notée \(\operatorname{Ci}(x)\), est une fonction spéciale que l'on rencontre dans de nombreux domaines de la physique, du traitement du signal et de l'électromagnétisme, en particulier dans la théorie des antennes et l'analyse des intégrales oscillantes. Pour un argument réel positif \(x\), elle est définie comme l'intégrale de \((\cos t - 1)/t\) entre 0 et \(x\), à laquelle on ajoute le logarithme népérien de \(x\) et la constante d'Euler-Mascheroni gamma (environ 0,5772156649). Ce calculateur évalue \(\operatorname{Ci}(x)\) en double précision pour toute valeur réelle saisie.

Le cosinus intégral \(\operatorname{Ci}(x)\) oscille avec une amplitude décroissante et tend vers zéro pour les grands \(x\).

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez la valeur de \(x\) dans le champ prévu à cet effet, puis validez. Le résultat correspond à la valeur sans dimension de \(\operatorname{Ci}(x)\). Le domaine de définition réel de la fonction principale est \(x\) strictement supérieur à 0. En \(x = 0\), la fonction diverge vers moins l'infini (singularité logarithmique) ; le calculateur indique donc qu'elle n'est pas définie. Pour les valeurs négatives, le calculateur renvoie \(\operatorname{Ci}(|x|)\), car la partie réelle de \(\operatorname{Ci}(-x)\) est égale à \(\operatorname{Ci}(x)\) ; la composante imaginaire en plus ou moins \(i\cdot\pi\) est omise.

La formule expliquée

La relation de définition s'écrit

$$\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln|x| + \int_{0}^{x} \frac{\cos t - 1}{t}\, dt$$

En développant l'intégrande en série de Taylor puis en intégrant terme à terme, on obtient la série convergente

$$\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) - \frac{x^{2}}{2\cdot 2!} + \frac{x^{4}}{4\cdot 4!} - \frac{x^{6}}{6\cdot 6!} + \dots$$

Pour des valeurs de \(x\) petites à modérées (ici, \(|x|\) jusqu'à 6), cette série converge rapidement et avec une grande précision. Pour des valeurs plus grandes, le calculateur bascule vers la représentation asymptotique \(\operatorname{Ci}(x) = f(x)\cdot\sin(x) - g(x)\cdot\cos(x)\), qui évite la perte catastrophique de précision dont souffre la série pour les grands arguments. À mesure que \(x\) augmente, \(\operatorname{Ci}(x)\) tend vers zéro tout en oscillant comme \(\sin(x)/x\).

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Le terme intégral accumule l'aire signée de \((\cos t - 1)/t\) de 0 à \(x\).

Exemple détaillé

Pour \(x = 1\) : \(\ln(1) = 0\), et la série donne

$$-0{,}25 + 0{,}0104166667 - 0{,}0002314815 + 0{,}0000031002 - \dots \approx -0{,}2398117421$$

En ajoutant \(\gamma = 0{,}5772156649\), on obtient

$$\operatorname{Ci}(1) = 0{,}3374039229$$

ce qui correspond à la valeur de référence connue de l'intégrale cosinus en 1.

Questions fréquentes

Pourquoi \(\operatorname{Ci}(0)\) n'est-il pas défini ? Parce que \(\ln(x)\) tend vers moins l'infini lorsque \(x\) approche 0 : la fonction présente une singularité logarithmique en ce point.

Et pour les \(x\) négatifs ? \(\operatorname{Ci}\) est à valeurs complexes pour les arguments négatifs. Ce calculateur réel renvoie \(\operatorname{Ci}(|x|)\), la partie réelle, et néglige le terme imaginaire.

Quelle est la précision des résultats ? Les résultats sont précis à environ la double précision machine (de l'ordre de 15 chiffres significatifs) sur la plage de saisie habituelle.