Qu'est-ce que le cosinus intégral hyperbolique Chi(x) ?
Le cosinus intégral hyperbolique, noté \(\mathrm{Chi}(x)\), est une fonction spéciale définie par l'intégrale $$\mathrm{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \int_0^x \frac{\cosh t - 1}{t}\,dt,$$ où \(\gamma\) désigne la constante d'Euler-Mascheroni (environ \(0{,}5772156649\)). C'est l'équivalent hyperbolique du cosinus intégral ordinaire \(\mathrm{Ci}(x)\) ; on la rencontre en physique, en analyse du signal et dans la théorie des intégrales exponentielles. Ce calculateur évalue \(\mathrm{Chi}(x)\) pour tout argument réel \(x\) strictement supérieur à 0.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez un nombre réel positif pour \(x\), puis validez. Le résultat est la valeur sans dimension \(\mathrm{Chi}(x)\). Comme \(\mathrm{Chi}(x)\) contient \(\ln(x)\), la fonction tend vers moins l'infini lorsque \(x\) s'approche de 0 par valeurs supérieures et n'est pas définie pour les réels \(x \le 0\) ; l'outil n'accepte donc que \(x > 0\). \(\mathrm{Chi}(x)\) est négatif pour les petits arguments et s'annule au voisinage de \(x = 0{,}523822\), devenant ensuite positif et croissant rapidement.
La formule expliquée
Pour le calcul pratique, on utilise la série entière, convergente partout, $$\mathrm{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{96} + \frac{x^6}{4320} + \cdots,$$ c'est-à-dire la somme sur \(k\) de \(\frac{x^{2k}}{(2k)(2k)!}\). Les termes sont cumulés jusqu'à ce qu'ils tombent sous la précision machine relativement à la somme partielle. Pour les très grandes valeurs de \(x\) (\(x > 20\)), les termes de la série peuvent dépasser la capacité de la double précision ; le calculateur bascule alors vers le développement asymptotique $$\mathrm{Chi}(x) \sim \frac{e^x}{2x}\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \cdots\right).$$
Exemple détaillé
Pour \(x = 1\), \(\ln(1) = 0\) et la série donne $$0{,}25 + 0{,}0104167 + 0{,}0002315 + \cdots = 0{,}2606514.$$ En ajoutant \(\gamma\) : $$\mathrm{Chi}(1) = 0{,}5772157 + 0{,}2606514 = 0{,}8378670,$$ ce qui correspond à la valeur de référence \(\mathrm{Chi}(1) = 0{,}8378670410\).
FAQ
Pourquoi \(x\) doit-il être positif ? Le terme \(\ln(x)\) rend \(\mathrm{Chi}(x)\) non définie pour les réels \(x \le 0\) ; pour \(x\) négatif, la valeur principale est complexe : \(\mathrm{Chi}(x) = \mathrm{Chi}(|x|) + i\pi\).
Quel est le lien de Chi avec les autres fonctions ? Pour \(x > 0\), \(\mathrm{Chi}(x) = \frac{\mathrm{Ei}(x) + E_1(x)}{2}\), et \(\mathrm{Chi}(x) + \mathrm{Shi}(x) = \mathrm{Ei}(x)\), où \(\mathrm{Shi}\) désigne le sinus intégral hyperbolique.
Quelle est la précision du résultat ? Les résultats sont calculés en double précision et sont exacts à environ 15 chiffres significatifs pour des entrées usuelles.
