حاسبة تكامل جيب التمام الزائدي Chi(x)

أدخل الحساب

x (الوسيط، يجب أن يكون > 0)

نتائج

1

تكامل جيب التمام الزائدي Chi(x)

٠٫٨٣٧٨٦٦٩٤١

عديم الأبعاد

الدالة	Chi(x) = γ + ln(x) + ∫₀ˣ (cosh t − 1)/t dt
الطريقة	متسلسلة أسّية (x ≤ 20) / مفكوك تقاربي (x > 20)

ما هو تكامل جيب التمام الزائدي Chi(x)؟

تكامل جيب التمام الزائدي، ويُرمَز له بالرمز \(\mathrm{Chi}(x)\)، هو دالة خاصة تُعرَّف بالتكامل \(\mathrm{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \int_0^x \frac{\cosh t - 1}{t}\, dt\)، حيث يمثّل \(\gamma\) ثابت أويلر–ماسكيروني (نحو 0.5772156649). وهي النظير الزائدي لتكامل جيب التمام العادي \(\mathrm{Ci}(x)\)، وتظهر في الفيزياء وتحليل الإشارات ونظرية التكاملات الأسية. تُقيّم هذه الحاسبة قيمة \(\mathrm{Chi}(x)\) لأي وسيط حقيقي \(x\) أكبر من 0.

تكامل جيب التمام الزائدي \(\mathrm{Chi}(x)\) عند \(x > 0\)، يهبط إلى ناقص ما لا نهاية قرب الصفر ثم يرتفع بحدة.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخِل عدداً حقيقياً موجباً للوسيط \(x\) ثم اضغط حساب، فتظهر النتيجة وهي قيمة \(\mathrm{Chi}(x)\) عديمة الأبعاد. ولأن \(\mathrm{Chi}(x)\) تتضمّن الحدّ \(\ln(x)\)، فإن الدالة تؤول إلى سالب ما لا نهاية كلما اقترب \(x\) من الصفر من جهة الموجب، وهي غير معرّفة عند أي \(x\) حقيقي أصغر من أو يساوي الصفر؛ لذلك لا تقبل الأداة سوى القيم التي تحقّق \(x > 0\). وتكون قيمة \(\mathrm{Chi}(x)\) سالبة عند الوسائط الصغيرة، ثم تعبر الصفر قرب \(x = 0.523822\) لتصبح موجبة وتتزايد بسرعة بعد ذلك.

شرح الصيغة

للحساب العملي نستخدم المتسلسلة الأسّية المتقاربة في كل مكان

$$\mathrm{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{96} + \frac{x^6}{4320} + \dots$$

أي مجموع الحدود على \(k\) للمقدار

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{\,2k}}{(2k)\,(2k)!}$$

وتُجمَع الحدود حتى تنخفض قيمتها دون دقة الآلة نسبةً إلى المجموع الجزئي. أما عند القيم الكبيرة جداً لـ \(x\) (حين \(x > 20\)) فقد تتجاوز حدود المتسلسلة سعة الدقة المزدوجة، ولذلك تنتقل الحاسبة إلى المفكوك التقاربي

$$\mathrm{Chi}(x) \sim \frac{e^x}{2x}\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \dots\right)$$

.

يجمع الحد التكاملي المساحة تحت \(\frac{\cosh t - 1}{t}\) من 0 إلى \(x\).

مثال محلول

عند \(x = 1\) يكون \(\ln(1) = 0\)، وتعطي المتسلسلة \(0.25 + 0.0104167 + 0.0002315 + \dots = 0.2606514\). وبإضافة \(\gamma\) نحصل على \(\mathrm{Chi}(1) = 0.5772157 + 0.2606514 = 0.8378670\)، وهي قيمة تطابق القيمة المرجعية \(\mathrm{Chi}(1) = 0.8378670410\).

الأسئلة الشائعة

لماذا يجب أن يكون x موجباً؟ يجعل الحدّ \(\ln(x)\) الدالة \(\mathrm{Chi}(x)\) غير معرّفة عند أي \(x\) حقيقي \(\leq 0\)؛ أما عند القيم السالبة فإن القيمة الأساسية تكون عقدية: \(\mathrm{Chi}(x) = \mathrm{Chi}(|x|) + i\cdot\pi\).

ما علاقة Chi بالدوال الأخرى؟ عند \(x > 0\) يكون \(\mathrm{Chi}(x) = \frac{\mathrm{Ei}(x) + \mathrm{E}_1(x)}{2}\)، كما أن \(\mathrm{Chi}(x) + \mathrm{Shi}(x) = \mathrm{Ei}(x)\)، حيث \(\mathrm{Shi}\) هو تكامل الجيب الزائدي.

ما مدى دقة النتيجة؟ تُحسب النتائج بالدقة المزدوجة، وتبلغ دقتها نحو 15 رقماً معنوياً للمدخلات الاعتيادية.