Hiperbolik Kosinüs İntegrali Chi(x) Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

x (argüman, > 0 olmalıdır)

Sonuç

1

Hiperbolik Kosinüs İntegrali Chi(x)

0,837866941

boyutsuz

Fonksiyon	Chi(x) = γ + ln(x) + ∫₀ˣ (cosh t − 1)/t dt
Yöntem	Kuvvet serisi (x ≤ 20) / asimptotik açılım (x > 20)

Hiperbolik Kosinüs İntegrali Chi(x) Nedir?

Chi(x) biçiminde yazılan hiperbolik kosinüs integrali, \(\mathrm{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \int_0^x \frac{\cosh t - 1}{t}\,dt\) şeklinde tanımlanan özel bir fonksiyondur; burada gamma, Euler-Mascheroni sabitidir (yaklaşık 0,5772156649). Bu fonksiyon, sıradan kosinüs integrali Ci(x)'in hiperbolik karşılığıdır ve fizikte, sinyal analizinde ve üstel integraller teorisinde karşımıza çıkar. Bu hesaplama aracı, 0'dan büyük her reel x argümanı için Chi(x) değerini hesaplar.

x > 0 için hiperbolik kosinüs integrali Chi(x); sıfıra yakın eksi sonsuza dalar ve dik biçimde yükselir.

Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?

x için pozitif bir reel sayı girin ve hesaplayın. Sonuç, boyutsuz Chi(x) değeridir. Chi(x) içinde \(\ln(x)\) terimi bulunduğundan, fonksiyon x pozitif taraftan 0'a yaklaşırken eksi sonsuza gider ve 0'dan küçük veya 0'a eşit reel x değerleri için tanımsızdır; bu nedenle araç yalnızca x > 0 değerlerini kabul eder. Chi(x) küçük argümanlarda negatiftir, yaklaşık \(x = 0{,}523822\) civarında sıfırı geçer ve bundan sonra pozitif olup hızla büyür.

Formülün Açıklaması

Pratik hesaplama için her yerde yakınsayan kuvvet serisini kullanıyoruz:

$$\mathrm{Chi}(x) = \gamma + \ln\!\left(x\right) + \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{96} + \frac{x^6}{4320} + \cdots = \gamma + \ln\!\left(x\right) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{\,2k}}{(2k)\,(2k)!}$$

Terimler, kısmi toplama göreceli olarak makine hassasiyetinin altına düşene kadar toplanır. Çok büyük x değerlerinde (x > 20) seri terimleri çift duyarlıklı (double) sınırını aşabileceğinden, hesaplayıcı asimptotik açılıma geçer:

$$\mathrm{Chi}(x) \sim \frac{e^x}{2x}\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \cdots\right)$$

İntegral terimi, 0'dan x'e kadar (cosh t − 1)/t altındaki alanı biriktirir.

Çözümlü Örnek

x = 1 için \(\ln(1) = 0\)'dır ve seri

$$0{,}25 + 0{,}0104167 + 0{,}0002315 + \cdots = 0{,}2606514$$

sonucunu verir. Buna gamma eklendiğinde:

$$\mathrm{Chi}(1) = 0{,}5772157 + 0{,}2606514 = 0{,}8378670$$

elde edilir; bu da referans değer \(\mathrm{Chi}(1) = 0{,}8378670410\) ile örtüşür.

Sıkça Sorulan Sorular

x neden pozitif olmalı? \(\ln(x)\) terimi nedeniyle Chi(x), 0'dan küçük veya eşit reel x değerleri için tanımsızdır; negatif x için asıl değer karmaşıktır, \(\mathrm{Chi}(x) = \mathrm{Chi}(|x|) + i\pi\).

Chi diğer fonksiyonlarla nasıl ilişkilidir? x > 0 için \(\mathrm{Chi}(x) = \tfrac{1}{2}\left(\mathrm{Ei}(x) + E_1(x)\right)\) ve \(\mathrm{Chi}(x) + \mathrm{Shi}(x) = \mathrm{Ei}(x)\) olup, burada Shi hiperbolik sinüs integralidir.

Sonuç ne kadar hassas? Sonuçlar çift duyarlıkla (double precision) hesaplanır ve tipik girdiler için yaklaşık 15 anlamlı basamağa kadar hassastır.