¿Qué es el coseno integral hiperbólico Chi(x)?
El coseno integral hiperbólico, que se escribe \(\mathrm{Chi}(x)\), es una función especial definida mediante la integral \(\mathrm{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \int_0^x \frac{\cosh t - 1}{t}\, dt\), donde \(\gamma\) es la constante de Euler-Mascheroni (aproximadamente 0,5772156649). Se trata del análogo hiperbólico del coseno integral ordinario \(\mathrm{Ci}(x)\) y aparece en física, en el análisis de señales y en la teoría de las integrales exponenciales. Esta calculadora evalúa \(\mathrm{Chi}(x)\) para cualquier argumento real \(x\) mayor que 0.
Cómo usar la calculadora
Introduce un número real positivo para \(x\) y pulsa calcular. El resultado es el valor adimensional \(\mathrm{Chi}(x)\). Como \(\mathrm{Chi}(x)\) contiene el término \(\ln(x)\), la función tiende a menos infinito cuando \(x\) se aproxima a 0 por la derecha y no está definida para valores reales de \(x\) menores o iguales que 0, por lo que la herramienta solo admite \(x > 0\). \(\mathrm{Chi}(x)\) es negativa para argumentos pequeños y corta el cero cerca de \(x = 0{,}523822\), volviéndose positiva y creciendo con rapidez a partir de ahí.
La fórmula explicada
Para el cálculo práctico empleamos la serie de potencias, convergente en todo punto, $$\mathrm{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{96} + \frac{x^6}{4320} + \cdots = \gamma + \ln(x) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)\,(2k)!}$$ es decir, la suma sobre \(k\) de \(\frac{x^{2k}}{(2k)(2k)!}\). Los términos se van acumulando hasta que quedan por debajo de la precisión de la máquina en relación con la suma parcial. Para valores muy grandes de \(x\) (\(x > 20\)) los términos de la serie pueden desbordar la precisión doble, así que la calculadora pasa al desarrollo asintótico \(\mathrm{Chi}(x) \sim \frac{e^x}{2x}\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \cdots\right)\).
Ejemplo resuelto
Para \(x = 1\), \(\ln(1) = 0\) y la serie da $$0{,}25 + 0{,}0104167 + 0{,}0002315 + \cdots = 0{,}2606514.$$ Sumando \(\gamma\): $$\mathrm{Chi}(1) = 0{,}5772157 + 0{,}2606514 = 0{,}8378670,$$ que coincide con el valor de referencia \(\mathrm{Chi}(1) = 0{,}8378670410\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué x debe ser positivo? El término \(\ln(x)\) hace que \(\mathrm{Chi}(x)\) no esté definida para \(x\) real \(\le 0\); para \(x\) negativo el valor principal es complejo, \(\mathrm{Chi}(x) = \mathrm{Chi}(|x|) + i\cdot\pi\).
¿Cómo se relaciona Chi con otras funciones? Para \(x > 0\), \(\mathrm{Chi}(x) = \frac{\mathrm{Ei}(x) + E_1(x)}{2}\), y \(\mathrm{Chi}(x) + \mathrm{Shi}(x) = \mathrm{Ei}(x)\), donde \(\mathrm{Shi}\) es el seno integral hiperbólico.
¿Qué precisión tiene el resultado? Los resultados se calculan en precisión doble y son exactos hasta unas 15 cifras significativas para entradas habituales.
