Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula, para una circunferencia de radio r, la longitud del lado y el área de todos los polígonos regulares que pueden inscribirse en ella, desde el triángulo hasta tantos lados como quieras. Genera una tabla con una fila por cada número entero de lados n comprendido entre el mínimo y el máximo que elijas, e incluye también el área del propio círculo para que veas cómo el área del polígono converge hacia ella.
Cómo usarla
Introduce el radio de la circunferencia r (en cualquier unidad coherente: el lado se obtendrá en esa misma unidad y las áreas en esa unidad al cuadrado). Define el rango de lados del polígono: desde n (mínimo 3) hasta n (al menos igual al mínimo). La tabla está limitada a 200 filas para que siga siendo rápida y fácil de leer. Cuanto mayor sea n, más se ciñe el polígono a la circunferencia, de modo que su área se aproxima más al área del círculo.
Las fórmulas explicadas
Un polígono regular de n lados inscrito se descompone en n triángulos isósceles idénticos. Cada uno tiene dos lados de longitud igual al radio que se encuentran en el centro formando un ángulo en el vértice de \(\frac{2\pi}{n}\). El lado del polígono es la base de ese triángulo: $$a = 2\,r\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ (usando el semiángulo \(\frac{\pi}{n}\)). Cada triángulo tiene un área de \(\frac{1}{2}\,r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)\), por lo que el área total del polígono es $$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot n\cdot r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$ El área del círculo es simplemente $$S_c = \pi r^{2}$$ Cuando n → ∞, \(S_p \to S_c\): es el clásico argumento del límite para deducir el área del círculo.
Ejemplo resuelto
Para r = 1 y un hexágono regular (n = 6): $$a = 2\cdot 1\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0{,}5 = 1{,}0$$ $$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 1\cdot\sin(60^\circ) = 3\cdot 0{,}8660254 = 2{,}5980762$$ El área del círculo es \(S_c = \pi \approx 3{,}1415927\), así que el hexágono ya ocupa alrededor del 83 % del círculo.
Preguntas frecuentes
¿Por qué n tiene que ser al menos 3? Un polígono necesita un mínimo de tres lados; con menos no es posible encerrar ninguna área.
¿Qué unidades debo usar? Cualquiera: el radio se utiliza directamente, sin conversiones. Si r está en cm, el lado saldrá en cm y las áreas en cm².
¿Por qué el área del polígono se acerca a la del círculo? Cada lado adicional hace que el polígono se parezca más a la circunferencia, de manera que, para valores grandes de n, la diferencia de áreas tiende a cero.
