這個計算機的功能
本工具會針對半徑為 r 的圓，計算所有能內接於其中的正多邊形的邊長與面積——從三角形開始，一直到你想要的任意邊數。它會建立一張表格，在你指定的最小值與最大值之間，為每個整數邊數 n 列出一列資料，同時也顯示圓本身的面積，讓你親眼看見多邊形面積如何逐漸逼近圓的面積。
使用方式
輸入圓的半徑 r（單位自選，只要前後一致即可——邊長會以相同單位呈現，面積則為該單位的平方）。接著設定多邊形邊數的範圍：從 n（至少為 3）到 n（不得小於最小值）。為了維持運算速度與表格易讀，最多顯示 200 列。n 越大，多邊形就越貼近圓的輪廓，面積也越接近圓面積。
公式解析
內接正 n 邊形可以切分成 n 個全等的等腰三角形，每個三角形有兩條等於半徑的邊在圓心相交，頂角為 \(\frac{2\pi}{n}\)。多邊形的邊就是三角形的底邊，$$a = 2\,r\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$（其中半角為 \(\frac{\pi}{n}\)）。每個三角形的面積為 \(\frac{1}{2}r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)\)，因此整個多邊形的面積為 $$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot n\cdot r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$。圓面積則單純為 $$S_c = \pi r^{2}$$。當 \(n \to \infty\) 時，\(S_p \to S_c\)——這正是推導圓面積的經典極限論證。
實例演算
以 r = 1 的正六邊形（n = 6）為例：$$a = 2\cdot 1\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0.5 = 1.0$$ $$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 1\cdot\sin(60^\circ) = 3\cdot 0.8660254 = 2.5980762$$ 圓面積為 \(S_c = \pi \approx 3.1415927\)，因此正六邊形已經填滿了圓大約 83% 的面積。
常見問題
為什麼 n 至少要等於 3？多邊形最少需要三條邊，少於三條無法圍出任何面積。
應該使用什麼單位？任何單位皆可——半徑會直接套用，不做任何換算。如果 r 以公分為單位，邊長就是公分，面積就是平方公分（cm²）。
為什麼多邊形面積會逼近圓面積？每多加一條邊，多邊形就更貼近圓的形狀，因此當 n 越大時，兩者的面積差距就會越來越趨近於零。
