この計算機でできること
半径 \(r\) の円について、その円に内接できるすべての正多角形の辺の長さと面積を計算します。三角形から好きな辺数まで対応しており、指定した最小値と最大値の間の整数の辺数 \(n\) ごとに1行ずつ並ぶ一覧表を作成します。さらに円そのものの面積も表示するので、辺数を増やすほど正多角形の面積が円の面積へと近づいていく様子を確認できます。
使い方
まず円の半径 \(r\) を入力します（単位は任意で、すべて同じ単位に揃えてください。辺の長さはその単位、面積はその単位の2乗で出力されます）。次に正多角形の辺数の範囲を、n の最小値（3以上）から n の最大値（最小値以上）まで指定します。表は表示速度と見やすさを保つため最大200行までに制限されています。\(n\) が大きいほど正多角形は円にぴったりと寄り添い、その面積は円の面積に近づきます。
計算式の解説
円に内接する正n角形は、\(n\) 個の合同な二等辺三角形に分割できます。各三角形は半径と同じ長さの2辺が中心で交わり、その頂角は \(2\pi/n\) です。正多角形の辺はこの三角形の底辺にあたり、半角 \(\pi/n\) を用いて $$a = 2r\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ となります。各三角形の面積は \(\tfrac{1}{2}r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)\) なので、正多角形全体の面積は $$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot n\cdot r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$ です。円の面積は $$S_c = \pi r^{2}$$ とシンプルに表せます。\(n \rightarrow \infty\) のとき \(S_p \rightarrow S_c\) となり、これは円の面積を求める古典的な極限の考え方そのものです。
計算例
\(r = 1\)、正六角形（\(n = 6\)）の場合を考えます。$$a = 2\cdot 1\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0.5 = 1.0$$ $$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 1\cdot\sin(60°) = 3\cdot 0.8660254 = 2.5980762$$ となります。円の面積は \(S_c = \pi \approx 3.1415927\) なので、正六角形の時点ですでに円のおよそ83%を占めていることが分かります。
よくある質問
なぜ n は3以上でなければならないのですか？ 多角形が成立するには最低でも3辺が必要だからです。2辺以下では面積を囲むことができません。
どの単位を使えばよいですか？ 単位は任意です。半径はそのまま計算に使われ、換算は行われません。r を cm で入力すれば、辺は cm、面積は cm² で出力されます。
なぜ正多角形の面積は円の面積に近づくのですか？ 辺を1つ増やすたびに正多角形は円により近い形になります。そのため n が大きくなるほど両者の面積の差は0へと縮まっていきます。
