ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة، لدائرة نصف قطرها r، طولَ ضلع ومساحةَ كل مضلع منتظم يمكن إحاطته داخل تلك الدائرة — بدءًا من المثلث وصولًا إلى أي عدد من الأضلاع تريده. تبني جدولًا يضم صفًا لكل عدد صحيح من الأضلاع n بين الحد الأدنى والحد الأقصى اللذين تختارهما، كما تعرض مساحة الدائرة نفسها لتراقب كيف تقترب مساحة المضلع منها تدريجيًا.
طريقة الاستخدام
أدخل نصف قطر الدائرة r (بأي وحدة متسقة — يظهر الضلع بالوحدة نفسها وتظهر المساحات بمربع تلك الوحدة). حدد نطاق عدد أضلاع المضلع: من n (لا يقل عن 3) إلى n (لا يقل عن الحد الأدنى). يقتصر الجدول على 200 صف لإبقائه سريعًا وسهل القراءة. كلما زاد n التصق المضلع بالدائرة أكثر، فتقترب مساحته من مساحة الدائرة.
شرح المعادلات
ينقسم المضلع المنتظم المحاط ذو n أضلاع إلى n من المثلثات المتساوية الساقين المتطابقة. لكل مثلث ضلعان طول كل منهما يساوي نصف القطر، يلتقيان عند المركز بزاوية رأسية مقدارها \(\frac{2\pi}{n}\). وضلع المضلع هو قاعدة المثلث:
$$a = 2\,r\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$(باستخدام نصف الزاوية \(\frac{\pi}{n}\)). مساحة كل مثلث تساوي \(\frac{1}{2}r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)\)، ومن ثم تكون مساحة المضلع كاملةً
$$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot n\cdot r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$أما مساحة الدائرة فهي ببساطة
$$S_c = \pi r^{2}$$وعندما يؤول n إلى ما لا نهاية، تؤول \(S_p\) إلى \(S_c\) — وهي الحجة الحدية الكلاسيكية لإيجاد مساحة الدائرة.
مثال محلول
عند \(r = 1\) ولمضلع سداسي منتظم (\(n = 6\)):
$$a = 2\cdot 1\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0.5 = 1.0$$وتكون
$$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 1\cdot\sin(60^\circ) = 3\cdot 0.8660254 = 2.5980762$$ومساحة الدائرة هي \(S_c = \pi \approx 3.1415927\)، أي إن المسدّس يملأ بالفعل نحو 83% من الدائرة.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب ألّا يقل n عن 3؟ يحتاج المضلع إلى ثلاثة أضلاع على الأقل؛ فأقل من ذلك لا يمكن أن يحصر مساحة.
ما الوحدات التي ينبغي استخدامها؟ أي وحدة تشاء — يُستخدم نصف القطر مباشرة دون أي تحويل. فإذا كان r بالسنتيمتر، يكون الضلع بالسنتيمتر والمساحات بالسنتيمتر المربع.
لماذا تقترب مساحة المضلع من مساحة الدائرة؟ كل ضلع إضافي يجعل المضلع تقريبًا أفضل للدائرة، لذا يتقلص الفرق في المساحة نحو الصفر عند القيم الكبيرة لـ n.
