ما هي حاسبة المثمن؟
المثمن المنتظم هو مضلع ذو ثمانية أضلاع متساوية الطول، وتبلغ قياس كل زاوية داخلية فيه 135°. تكتفي هذه الحاسبة بإدخال واحد فقط — طول الضلع s — لتعطيك فورًا مساحة المثمن ومحيطه ونصف قطره الداخلي (العمود النازل من المركز)، ونصف قطره الخارجي، وأطول قطر فيه. وهي أداة عملية في تصميم الزخارف والبلاطات المتراصة، وفهم هندسة إشارة قف (Stop)، وتخطيط التبليط، وبناء الجلسات الخارجية (الجازيبو) والأسطح الخشبية، إضافة إلى حل واجبات الرياضيات.
طريقة الاستخدام
أدخل طول أحد الأضلاع بأي وحدة تناسبك (سنتيمتر، إنش، أو متر). تظهر النتائج بالوحدة نفسها: الأطوال بوحدتك، والمساحة بمربّع تلك الوحدة. لا حاجة لتحديد الوحدة، فالعلاقات الهندسية ثابتة مهما كانت الوحدة المستخدمة.
شرح المعادلات
مساحة المثمن المنتظم تُحسب بالصيغة $$A = 2\left(1+\sqrt{2}\right)\cdot s^{2}$$ وهي ناتجة عن تقسيم المثمن إلى مربّع مركزي وأربعة مستطيلات وأربعة مثلثات في الزوايا. أما المحيط فهو ببساطة $$P = 8s$$ لأن الأضلاع الثمانية متساوية. ونصف القطر الداخلي — وهو المسافة العمودية من المركز إلى منتصف الضلع — يساوي $$a = \frac{s\left(1+\sqrt{2}\right)}{2}$$ ونصف القطر الخارجي (من المركز إلى أحد الرؤوس) هو $$R = \frac{s\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}$$ بينما أطول قطر يمتد عبر المثمن يساوي $$d = s\sqrt{4+2\sqrt{2}}$$
مثال محلول
لنفترض أن طول الضلع \(s = 5\): المساحة = $$2\left(1+1.41421\right)\cdot 25 = 2 \times 2.41421 \times 25 \approx 120.71$$ وحدة مربّعة. المحيط = \(8 \times 5 = 40\). نصف القطر الداخلي = \(\frac{5 \times 2.41421}{2} \approx 6.0355\). نصف القطر الخارجي \(\approx 6.5328\)، وأطول قطر \(\approx 13.0656\).
الأسئلة الشائعة
هل تصلح هذه الحاسبة للمثمنات غير المنتظمة؟ لا، فهذه المعادلات تفترض مثمنًا منتظمًا بأضلاع وزوايا متساوية. أما المثمنات غير المنتظمة فتحتاج إلى طرق تعتمد على إحداثيات الرؤوس.
ما فائدة نصف القطر الداخلي؟ حاصل ضرب نصف القطر الداخلي في نصف المحيط يعطي المساحة (\(A = \tfrac{1}{2}\cdot P\cdot a\))، وهو يساوي نصف قطر الدائرة المرسومة داخل المثمن.
كم قياس الزوايا الداخلية؟ كل زاوية داخلية في المثمن المنتظم تساوي 135°، ومجموع الزوايا الداخلية يبلغ 1080°.
