Что такое калькулятор восьмиугольника?
Правильный восьмиугольник — это многоугольник с восемью сторонами, у которого все стороны равны по длине, а каждый внутренний угол составляет 135°. Калькулятору нужен всего один параметр — длина стороны s, — после чего он мгновенно выдаёт площадь, периметр, апофему (радиус вписанной окружности), радиус описанной окружности и наибольшую диагональ восьмиугольника. Это удобно при проектировании мозаик и плиточных раскладок, расчёте геометрии знака «Стоп», строительстве беседок и террас, а также при решении задач по математике.
Как пользоваться
Введите длину одной стороны в любых удобных единицах (сантиметры, дюймы, метры). Результаты возвращаются в тех же единицах: длины — в выбранной единице, а площадь — в этих же единицах в квадрате. Указывать единицу измерения не нужно — геометрия не зависит от неё.
Разбор формул
Площадь правильного восьмиугольника вычисляется по формуле $$A = 2\left(1+\sqrt{2}\right)\,s^{2}$$ Она получается, если разбить восьмиугольник на центральный квадрат, четыре прямоугольника и четыре угловых треугольника. Периметр находится совсем просто — \(P = 8s\), ведь все восемь сторон равны. Апофема — перпендикулярное расстояние от центра до середины стороны — равна $$a = \frac{s\left(1+\sqrt{2}\right)}{2}$$ Радиус описанной окружности (от центра до вершины) составляет $$R = \frac{s\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}$$ а наибольшая диагональ, проходящая через весь восьмиугольник, — $$d = s\sqrt{4+2\sqrt{2}}$$
Пример расчёта
Возьмём сторону \(s = 5\): Площадь $$= 2(1+1{,}41421)\cdot 25 = 2 \times 2{,}41421 \times 25 \approx 120{,}71$$ квадратных единиц. Периметр $$= 8 \times 5 = 40$$ Апофема $$= \frac{5 \times 2{,}41421}{2} \approx 6{,}0355$$ Радиус описанной окружности \(\approx 6{,}5328\), а наибольшая диагональ \(\approx 13{,}0656\).
Частые вопросы
Подходит ли калькулятор для неправильных восьмиугольников? Нет — эти формулы рассчитаны на правильный восьмиугольник с равными сторонами и углами. Для неправильных восьмиугольников нужны методы, основанные на координатах вершин.
Для чего нужна апофема? Произведение апофемы на половину периметра даёт площадь (\(A = \tfrac{1}{2}\cdot P\cdot a\)), и она же равна радиусу вписанной окружности.
Чему равны внутренние углы? Каждый внутренний угол правильного восьмиугольника равен 135°, а их сумма составляет 1080°.
