정팔각형 계산기란?
정팔각형은 여덟 개의 변이 모두 같은 길이를 가지며, 모든 내각이 135°로 동일한 다각형입니다. 이 계산기는 단 하나의 값, 즉 한 변의 길이 s만 입력하면 정팔각형의 넓이, 둘레, 변심거리(내접원 반지름), 외접원 반지름, 그리고 가장 긴 대각선을 즉시 계산해 줍니다. 타일 패턴 설계, 정지 표지판 기하 구조, 바닥 타일 배치, 정자(가제보)나 데크 시공, 수학 과제 등에 두루 활용할 수 있습니다.
사용 방법
한 변의 길이를 원하는 단위(cm, 인치, 미터 등)로 입력하세요. 결과는 입력한 단위에 맞춰 표시됩니다. 길이 값은 입력 단위와 동일하고, 넓이는 그 단위의 제곱으로 나타납니다. 어떤 단위인지 따로 지정할 필요는 없습니다. 기하학적 계산 결과는 단위와 관계없이 동일하기 때문입니다.
공식 풀이
정팔각형의 넓이는 다음과 같습니다.
$$A = 2\left(1+\sqrt{2}\right)\,\text{s}^{2}$$이 공식은 팔각형을 중앙의 정사각형, 네 개의 직사각형, 그리고 네 모서리의 삼각형으로 나누어 구한 결과입니다. 둘레는 여덟 변의 길이가 모두 같으므로 단순하게 \(P = 8s\)가 됩니다. 변심거리(중심에서 한 변의 중점까지의 수직 거리)는 \(a = \frac{s\left(1+\sqrt{2}\right)}{2}\)입니다. 외접원 반지름(중심에서 꼭짓점까지의 거리)은 \(R = \frac{s\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}\)이며, 팔각형을 가로지르는 가장 긴 대각선은 \(d = s\sqrt{4+2\sqrt{2}}\)입니다.
계산 예시
한 변의 길이가 \(s = 5\)인 경우: 넓이 $$= 2(1+1.41421)\cdot 25 = 2 \times 2.41421 \times 25 \approx 120.71$$ 제곱 단위입니다. 둘레 \(= 8 \times 5 = 40\). 변심거리 \(= \frac{5 \times 2.41421}{2} \approx 6.0355\). 외접원 반지름 \(\approx 6.5328\), 가장 긴 대각선 \(\approx 13.0656\)입니다.
자주 묻는 질문
비정형(부정형) 팔각형에도 사용할 수 있나요? 아니요. 이 공식들은 모든 변과 각이 같은 정팔각형을 전제로 합니다. 변의 길이나 각이 제각각인 팔각형은 좌표 기반 계산 방식을 사용해야 합니다.
변심거리는 어디에 쓰이나요? 변심거리에 둘레의 절반을 곱하면 넓이가 됩니다(\(A = \tfrac{1}{2}\cdot P\cdot a\)). 또한 변심거리는 내접원의 반지름과 같습니다.
내각은 몇 도인가요? 정팔각형의 각 내각은 135°이며, 내각의 총합은 1080°입니다.
