정팔각형 넓이 계산기란?
이 계산기는 정팔각형, 즉 여덟 개의 변과 여덟 개의 내각이 모두 같은 다각형의 넓이를 한 변의 길이만으로 구해 줍니다. 정팔각형은 멈춤(정지) 표지판이나 우산은 물론 바닥 타일, 건축 디자인에 이르기까지 우리 주변 곳곳에서 볼 수 있습니다. 그래서 둘러싸인 면적을 빠르게 알아두면 공예, 시공, 기하 숙제 등 다양한 상황에서 유용하게 쓰입니다.
사용 방법
한 변의 길이(s)를 원하는 단위로 입력하세요. 센티미터, 인치, 미터, 피트 무엇이든 괜찮습니다. 계산 버튼을 누르면 입력한 단위의 제곱으로 넓이가 나오고, 둘레까지 함께 표시됩니다. 공식 자체가 순수한 기하학에 기반하므로 어떤 단위, 어떤 양수 변 길이에도 그대로 적용됩니다.
공식 풀이
정팔각형의 넓이는 다음과 같습니다.
$$A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right)\cdot s^{2}$$
상수 \(2\left(1 + \sqrt{2}\right)\)의 값은 약 \(4.8284\)입니다. 정팔각형은 가운데 정사각형 하나에 직사각형 네 개와 모서리 삼각형 네 개를 더한 형태로 나눌 수 있는데, 이 조각들을 모두 합하면 이렇게 간결한 식이 나옵니다. 여덟 변의 길이가 모두 같으므로 둘레는 단순히 \(P = 8s\) 입니다.
예제 풀이
각 변의 길이가 5단위라고 해봅시다. 그러면 \(s^{2} = 25\) 이고, $$A = 2\left(1 + 1.41421\right) \times 25 = 4.82843 \times 25 \approx 120.71 \text{ 제곱단위}$$가 됩니다. 둘레는 \(8 \times 5 = 40\)단위입니다.
일반적인 변의 길이에 대한 정팔각형의 넓이
정팔각형의 넓이는 변의 길이 \(s\)에서 공식 \(A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right)s^{2}\)을 이용하여 직접 구할 수 있으며, 여기서 상수 \(2(1+\sqrt{2}) \approx 4.828427\)입니다. 둘레는 단순히 \(P = 8s\)입니다. 아래 표는 일반적인 변의 길이 범위에 대해 두 수량을 소수점 이하 두 자리로 반올림하여 나열합니다. 값은 일관된 단위를 사용합니다 — \(s\)가 센티미터이면 넓이는 제곱센티미터입니다.
| 변 \(s\) | 둘레 \(8s\) | 넓이 \(2(1+\sqrt{2})s^{2}\) |
|---|---|---|
| 1 | 8 | 4.83 |
| 2 | 16 | 19.31 |
| 5 | 40 | 120.71 |
| 10 | 80 | 482.84 |
| 20 | 160 | 1931.37 |
| 50 | 400 | 12071.07 |
| 100 | 800 | 48284.27 |
넓이는 변의 길이의 제곱에 비례하므로, 변의 길이를 두 배로 늘리면 넓이는 네 배가 됩니다 — 예를 들어, \(s=10\)에서 \(s=20\)으로 가면 넓이가 482.84에서 1931.37로 증가하여 네 배가 됩니다.
정팔각형 치수 변환
정팔각형은 각각 변의 길이 \(s\)의 고정된 배수인 여러 관련 측정값으로 설명할 수 있습니다. 평면 사이의 너비 \(W\)는 대향하는 두 평행 모서리 사이의 거리이고, 모서리 사이의 너비 \(D\)(외접원의 지름)는 대향하는 두 꼭짓점 사이의 거리입니다. 이들은 다음과 같이 주어집니다:
$$W = s\left(1+\sqrt{2}\right), \qquad D = s\sqrt{4+2\sqrt{2}}, \qquad P = 8s$$| 수량 | 공식 | 인수 × \(s\) |
|---|---|---|
| 둘레 \(P\) | \(8s\) | 8 |
| 평면 사이의 너비 \(W\) | \(s(1+\sqrt{2})\) | 2.414214 |
| 모서리 사이의 너비 \(D\) | \(s\sqrt{4+2\sqrt{2}}\) | 2.613126 |
| 넓이 \(A\) | \(2(1+\sqrt{2})s^{2}\) | 4.828427 (× \(s^{2}\)) |
다른 방향으로 변환하려면 인수로 나누면 됩니다. 예를 들어, 평면 사이의 너비를 알고 있다면 변의 길이는 \(s = W / (1+\sqrt{2}) \approx 0.414214\,W\)입니다. 모서리 사이의 지름을 알고 있다면 \(s = D / \sqrt{4+2\sqrt{2}} \approx 0.382683\,D\)입니다. \(s\)를 구한 후 넓이는 \(A = 2(1+\sqrt{2})s^{2}\)에서 구합니다. 예를 들어, 변 \(s = 30\,\text{cm}\)인 정지 표지판 모양의 정팔각형은 평면 사이의 너비가 \(72.43\,\text{cm}\), 모서리 사이의 너비가 \(78.39\,\text{cm}\), 넓이가 4345.58 cm²입니다.
자주 묻는 질문
일반(불규칙) 팔각형에도 쓸 수 있나요? 아니요. 이 공식은 모든 변과 내각이 같은 정팔각형을 전제로 합니다. 불규칙 팔각형은 여러 개의 삼각형으로 나눈 뒤 각각의 넓이를 더해 구해야 합니다.
어떤 단위를 사용하나요? 일관된 단위라면 무엇이든 됩니다. 넓이는 변 길이에 입력한 단위의 제곱으로 나옵니다.
마주 보는 변 사이의 폭(대변 간 거리)으로 넓이를 구하려면? 마주 보는 변 사이의 폭 W는 변과 \(W = s(1 + \sqrt{2})\) 관계이므로, \(s = W / (1 + \sqrt{2})\)로 변 길이를 먼저 구하세요. 변환한 뒤 그 값을 변 길이로 입력하면 됩니다.
