정다각형이란?
정다각형은 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 닫힌 도형입니다. 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형, 정팔각형이 대표적인 예죠. 이 계산기는 변이 3개 이상인 모든 정다각형에 사용할 수 있으며, 넓이와 둘레는 물론 내각·외각, 아포템(내접원 반지름), 외접원 반지름까지 한 번에 구해 줍니다.
사용 방법
변의 개수 n(3 이상)과 한 변의 길이 s를 입력하세요. 길이 단위는 원하는 대로 자유롭게 쓰면 됩니다. 결과는 입력한 단위를 그대로 따라가는데, 길이는 입력 단위 그대로, 넓이는 그 단위의 제곱으로 표시됩니다. 각도는 언제나 도(°) 단위입니다.
공식 풀이
넓이는 $$A = \frac{1}{4}\,\text{n}\cdot \text{s}^{2}\cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)$$로 구합니다. 여기서 cot은 코탄젠트, \(\pi/\text{n}\)은 다각형을 이루는 n개의 합동인 삼각형 하나가 갖는 중심각의 절반입니다. 둘레는 간단히 $$P = \text{n}\cdot \text{s}$$입니다. 내각 하나의 크기는 \(\frac{(\text{n}-2)\cdot 180^{\circ}}{\text{n}}\)이고, 외각 하나의 크기는 \(\frac{360^{\circ}}{\text{n}}\)입니다. 아포템(중심에서 한 변의 중점까지의 거리)은 \(\frac{\text{s}}{2\,\tan\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)}\), 외접원 반지름(중심에서 꼭짓점까지의 거리)은 \(\frac{\text{s}}{2\,\sin\!\left(\frac{\pi}{\text{n}}\right)}\)로 계산됩니다.
예제로 확인하기
한 변의 길이 s = 10인 정육각형(n = 6)을 예로 들어 보겠습니다. 둘레는 \(6 \times 10 = 60\)입니다. 넓이는 $$\frac{1}{4} \times 6 \times 100 \times \cot(30^{\circ}) = 150 \times \sqrt{3} \approx 259.81$$ (제곱 단위)이 됩니다. 내각은 \(\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ}}{6} = 120^{\circ}\), 외각은 \(60^{\circ}\)입니다. 아포템은 \(\frac{10}{2\,\tan 30^{\circ}} \approx 8.66\)이고, 외접원 반지름은 정확히 10입니다.
자주 묻는 질문
삼각형이나 사각형에도 쓸 수 있나요? 네. n = 3을 넣으면 정삼각형, n = 4를 넣으면 정사각형의 값이 나옵니다.
넓이는 어떤 단위로 나오나요? 한 변의 길이를 입력한 단위의 제곱으로 표시됩니다(예: cm를 입력하면 cm²).
n이 왜 최소 3이어야 하나요? 넓이를 둘러싸려면 변이 적어도 3개 필요하기 때문입니다. 변이 그보다 적으면 닫힌 도형을 이루지 못합니다.
