이 계산기로 할 수 있는 일
이 도구는 정다각형의 한 변 길이를 입력받아 그 안에 꼭 맞게 들어가는 내접원을 계산하고, 내접원 반지름(내접원 반경), 내접원 넓이, 그리고 다각형 자체의 넓이를 알려줍니다. 단 하나의 값만 보여주는 대신, 변의 개수 \(n\)을 시작값부터 끝값까지 차례로 훑어 표로 만들어 주므로 삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형 그 이상까지 나란히 비교할 수 있습니다. 계산은 순수한 기하학이라 어떤 나라에서든, 길이 단위만 일관되게 쓴다면 똑같이 유효합니다.
사용 방법
먼저 한 변의 길이 \(a\)(양수라면 어떤 값이든)를 입력한 뒤, 변의 개수 범위인 "정다각형 n (시작)"과 "정다각형 n (끝)"을 설정하세요. 다각형은 변이 최소 3개는 있어야 하므로 \(n\)은 3부터 시작합니다. 표는 정수 \(n\)마다 한 행씩, 최대 200행까지 생성됩니다. 하나의 값만 보고 싶다면 "시작"과 "끝"을 같은 숫자로 맞추면 됩니다.
공식 설명
내접원은 다각형의 모든 변의 중점에 닿으며, 그 반지름이 바로 다각형의 아포템(중심에서 변까지의 수직 거리)입니다. 각을 라디안으로 두고 길이가 \(a\)인 변이 \(n\)개일 때 내접원 반지름은 $$r = \frac{a}{2\tan(\pi/n)}$$ 입니다. 내접원 넓이는 원의 기본 공식 $$S_c = \pi \times r^2$$ 로 구하고, 다각형 넓이는 둘레의 절반에 아포템을 곱한 값으로, 정리하면 $$S_p = \frac{n \times a^2}{4\tan(\pi/n)}$$ 가 됩니다. \(n \ge 3\)일 때 항상 \(0 < \pi/n < \pi/2\) 이므로 \(\tan(\pi/n)\)은 언제나 양수이고, 따라서 0으로 나누는 일은 절대 생기지 않습니다.
계산 예시
한 변이 1인 정육각형을 봅시다. \(a = 1\), \(n = 6\) 입니다. 이때 \(\pi/6 = 0.5235988\) 라디안이고 \(\tan(\pi/6) = 0.5773503\) 입니다. 내접원 반지름은 $$r = \frac{1}{2 \times 0.5773503} = 0.8660254$$ 입니다. 내접원 넓이는 $$S_c = \pi \times 0.8660254^2 = \pi \times 0.75 = 2.3561945$$ 이고, 다각형 넓이는 $$S_p = \frac{6}{4 \times 0.5773503} = 2.5980762$$ 로, 잘 알려진 정육각형 넓이 공식 \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) 와 정확히 일치합니다.
자주 묻는 질문
내접원과 외접원은 어떻게 다른가요? 내접원은 다각형 안쪽에 들어가 각 변의 중점에 닿는 원이고, 외접원은 모든 꼭짓점을 지나는 원입니다. 이 도구는 내접원을 계산합니다.
n이 커질수록 다각형 넓이가 늘어나는 이유는? 한 변의 길이 \(a\)를 고정해 두기 때문입니다. \(n\)이 크면 도형 자체가 물리적으로 더 커지므로 두 넓이 모두 증가합니다. 다각형은 모양상 내접원에 가까워지지만 넓이는 계속 커집니다.
어떤 단위를 쓰나요? \(a\)에 입력한 길이 단위를 그대로 따릅니다. 길이는 그 단위로, 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다.
