यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी नियमित बहुभुज की भुजा की लंबाई लेता है और उसमें समाए अंतर्वृत्त (incircle) की गणना करके अंतःत्रिज्या, अंतर्वृत्त का क्षेत्रफल और बहुभुज का क्षेत्रफल बताता है। यह सिर्फ एक नतीजा देने के बजाय एक पूरी तालिका बनाता है, जिसमें भुजाओं की संख्या $n$ को एक शुरुआती मान से लेकर अंतिम मान तक बढ़ाया जाता है। इससे आप त्रिभुज, वर्ग, पंचभुज, षट्भुज और उससे आगे के आकारों की एक साथ तुलना कर सकते हैं। यह गणित शुद्ध ज्यामिति पर आधारित है और किसी भी सुसंगत लंबाई इकाई में हर जगह सही रहता है।

समषट्भुज जिसमें अंतःवृत्त हर भुजा को उसके मध्यबिंदु पर स्पर्श करता है — किसी समबहुभुज का अंतःवृत्त हर भुजा को उसके मध्यबिंदु पर स्पर्श करता है; इसकी त्रिज्या अंतःत्रिज्या $r$ है।

इसका उपयोग कैसे करें

भुजा की लंबाई $a$ दर्ज करें (कोई भी धनात्मक संख्या), फिर भुजाओं की संख्या की रेंज तय करें: "नियमित बहुभुज n (से)" और "नियमित बहुभुज n (तक)"। चूँकि किसी भी बहुभुज में कम से कम तीन भुजाएँ होनी ज़रूरी हैं, इसलिए $n$ की शुरुआत 3 से होती है। तालिका में हर पूर्णांक $n$ के लिए एक पंक्ति बनती है, जिसकी अधिकतम सीमा 200 पंक्तियाँ है। अगर आपको सिर्फ एक ही नतीजा चाहिए, तो "से" और "तक" दोनों में एक ही संख्या डाल दें।

सूत्र की व्याख्या

अंतर्वृत्त (जिसे समाहित वृत्त भी कहते हैं) हर भुजा के मध्यबिंदु को छूता है, और इसकी त्रिज्या बहुभुज का अपोथेम (apothem) होती है। जब कोणों को रेडियन में मापा जाए और $n$ भुजाएँ $a$ लंबाई की हों, तो अंतःत्रिज्या $$r = \frac{a}{2\tan(\pi/n)}$$ होती है। अंतर्वृत्त का क्षेत्रफल वृत्त के मानक सूत्र से मिलता है: $$S_c = \pi r^2$$ बहुभुज का क्षेत्रफल परिमाप के आधे और अपोथेम के गुणनफल के बराबर होता है, जो सरल होकर $$S_p = \frac{n\,a^2}{4\tan(\pi/n)}$$ बन जाता है। चूँकि $n \ge 3$ के लिए $0 < \pi/n < \pi/2$ रहता है, इसलिए $\tan(\pi/n)$ हमेशा धनात्मक होता है और शून्य से भाग की नौबत कभी नहीं आती।

बहुभुज के केंद्र, एक भुजा के मध्यबिंदु और एक शीर्ष से बना समकोण त्रिभुज, जो अंतःत्रिज्या और आधी भुजा दर्शाता है — अंतःत्रिज्या $r$, आधी भुजा $a/2$ और केंद्रीय अर्धकोण $\pi/n$ मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जो सूत्र देता है।

हल किया हुआ उदाहरण

एक इकाई षट्भुज के लिए $a = 1$ और $n = 6$ लें। यहाँ $\pi/6 = 0.5235988$ रेडियन और $\tan(\pi/6) = 0.5773503$ है। अंतःत्रिज्या $$r = \frac{1}{2 \times 0.5773503} = 0.8660254$$ आती है। अंतर्वृत्त का क्षेत्रफल $$S_c = \pi \times 0.8660254^2 = \pi \times 0.75 = 2.3561945$$ है। बहुभुज का क्षेत्रफल $$S_p = \frac{6}{4 \times 0.5773503} = 2.5980762$$ है, जो षट्भुज के जाने-माने क्षेत्रफल $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ से मेल खाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अंतर्वृत्त और परिवृत्त में क्या अंतर है? अंतर्वृत्त (incircle) बहुभुज के अंदर रहता है और हर भुजा को उसके मध्यबिंदु पर छूता है; जबकि परिवृत्त (circumcircle) सभी शीर्षों से होकर गुज़रता है। यह टूल अंतर्वृत्त की गणना करता है।

$n$ बढ़ने पर बहुभुज का क्षेत्रफल क्यों बढ़ता है? क्योंकि भुजा की लंबाई $a$ स्थिर रखी जाती है, इसलिए $n$ जितना बड़ा होगा, आकार उतना ही बड़ा बनेगा और दोनों क्षेत्रफल बढ़ते जाएँगे। आकार के लिहाज़ से बहुभुज का क्षेत्रफल अंतर्वृत्त के क्षेत्रफल के नज़दीक पहुँचता जाता है, पर दोनों बढ़ते ही रहते हैं।

कौन-सी इकाइयाँ इस्तेमाल होती हैं? जो भी लंबाई इकाई आप $a$ के लिए देते हैं, वही। लंबाइयाँ उसी इकाई में और क्षेत्रफल उसकी वर्ग इकाई में निकलते हैं।

n (-भुज)	अंतःत्रिज्या r	अंतर्वृत्त क्षेत्रफल S_c	बहुभुज क्षेत्रफल S_p
3	0.288675	0.261799	0.433013
4	0.5	0.785398	1
5	0.688191	1.48788	1.720477
6	0.866025	2.356194	2.598076
7	1.038261	3.386591	3.633912
8	1.207107	4.577636	4.828427
9	1.373739	5.928682	6.181824
10	1.538842	7.439398	7.694209
11	1.702844	9.109602	9.36564
12	1.866025	10.939185	11.196152

नियमित बहुभुज अंतर्वृत्त कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

सूत्र (फॉर्मूला)

Incircle and polygon areas

परिणाम

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सूत्र की व्याख्या

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अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

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