この計算ツールでできること
このツールは、正多角形の一辺の長さから内接円を求め、内接円の半径（内接半径）・内接円の面積・多角形の面積を計算します。1つの結果だけでなく、辺の数nを開始値から終了値まで変化させた一覧表を作成するので、三角形・正方形・五角形・六角形…と並べて比べられます。計算は純粋な幾何学に基づいており、長さの単位をそろえれば世界中どこでも同じように使えます。
使い方
一辺の長さa（正の数）を入力し、辺の数の範囲「正多角形n（開始）」と「正多角形n（終了）」を指定します。多角形は最低3辺が必要なため、nは3から始まります。表は整数nごとに1行ずつ、最大200行まで作成されます。1つの答えだけが欲しい場合は、「開始」と「終了」に同じ値を入力してください。
計算式の解説
内接円は各辺の中点に接する円で、その半径は多角形のアポテム（中心から辺までの距離）に等しくなります。角度をラジアンで表し、辺の数をn、一辺の長さをaとすると、内接半径は次の式で求められます。
$$r = \frac{a}{2\tan(\pi/n)}$$内接円の面積は円の面積公式から
$$S_c = \pi r^2$$となります。多角形の面積は「周の長さの半分 × アポテム」に等しく、整理すると
$$S_p = \frac{n\,a^2}{4\tan(\pi/n)}$$になります。\(n \geq 3\) のとき \(0 < \pi/n < \pi/2\) となり、\(\tan(\pi/n)\) は常に正の値なので、ゼロで割ることはありません。
計算例
一辺が1の正六角形、つまり \(a = 1\)、\(n = 6\) の場合を見てみましょう。\(\pi/6 = 0.5235988\) ラジアン、\(\tan(\pi/6) = 0.5773503\) です。内接半径は
$$r = \frac{1}{2 \times 0.5773503} = 0.8660254$$となります。内接円の面積は
$$S_c = \pi \times 0.8660254^2 = \pi \times 0.75 = 2.3561945$$です。多角形の面積は
$$S_p = \frac{6}{4 \times 0.5773503} = 2.5980762$$となり、正六角形の面積として知られる \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) と一致します。
よくある質問
内接円と外接円の違いは？ 内接円は多角形の内側にあり、各辺の中点に接します。一方、外接円はすべての頂点を通ります。このツールが計算するのは内接円です。
なぜnが大きくなると多角形の面積が増えるの？ 一辺の長さaを一定に保っているため、nが大きいほど図形そのものが大きくなり、面積も増加します。形は内接円に近づいていきますが、面積はどちらも増え続けます。
使う単位は？ aに入力した長さの単位がそのまま使われます。長さはその単位で、面積はその単位の2乗で表示されます。
