Qué hace esta calculadora
Esta herramienta toma la longitud del lado de un polígono regular y calcula su círculo inscrito (la circunferencia inscrita), devolviendo el inradio, el área del círculo inscrito y el área del polígono. En lugar de un único resultado, genera una tabla que recorre el número de lados \(n\) desde un valor inicial hasta uno final, de modo que puedes comparar triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono y más, uno junto a otro. Las fórmulas son pura geometría y valen en cualquier lugar, con cualquier unidad de longitud coherente.
Cómo usarla
Introduce la longitud del lado \(a\) (cualquier número positivo) y fija el rango de lados: «Polígono regular n (desde)» y «Polígono regular n (hasta)». Como un polígono necesita al menos tres lados, \(n\) parte de 3. La tabla genera una fila por cada \(n\) entero, hasta un máximo de 200 filas. Si quieres un único resultado, pon el mismo valor en «desde» y en «hasta».
La fórmula explicada
El círculo inscrito (también llamado circunferencia inscrita) toca el punto medio de cada lado, y su radio es la apotema del polígono. Con los ángulos medidos en radianes y \(n\) lados de longitud \(a\), el inradio es $$r = \frac{a}{2\tan(\pi/n)}$$ El área del círculo inscrito se obtiene de la fórmula habitual del círculo: $$S_c = \pi r^2$$ El área del polígono es la mitad del perímetro por la apotema, que se simplifica a $$S_p = \frac{n\,a^2}{4\tan(\pi/n)}$$ Dado que \(0 < \pi/n < \pi/2\) para \(n \ge 3\), \(\tan(\pi/n)\) siempre es positivo, así que nunca se divide entre cero.
Ejemplo resuelto
Para un hexágono unitario, \(a = 1\) y \(n = 6\). Aquí \(\pi/6 = 0{,}5235988\) rad y \(\tan(\pi/6) = 0{,}5773503\). El inradio es $$r = \frac{1}{2 \times 0{,}5773503} = 0{,}8660254$$ El área del círculo inscrito es $$S_c = \pi \times 0{,}8660254^2 = \pi \times 0{,}75 = 2{,}3561945$$ El área del polígono es $$S_p = \frac{6}{4 \times 0{,}5773503} = 2{,}5980762$$ que coincide con el área conocida del hexágono \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\).
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre el círculo inscrito y el circunscrito? El círculo inscrito queda dentro y toca cada lado en su punto medio; el circunscrito pasa por los vértices. Esta herramienta calcula el círculo inscrito.
¿Por qué crece el área del polígono cuando aumenta \(n\)? Como la longitud del lado \(a\) se mantiene fija, un \(n\) mayor implica una figura físicamente más grande, por lo que ambas áreas aumentan; el polígono se acerca en forma al círculo inscrito, pero ambas áreas siguen creciendo.
¿Qué unidades se usan? Las que tú indiques para \(a\). Las longitudes salen en esa unidad y las áreas en su cuadrado.
