Công cụ này làm được gì
Công cụ nhận độ dài cạnh của một đa giác đều rồi tính đường tròn nội tiếp của nó, trả về bán kính nội tiếp, diện tích đường tròn nội tiếp và diện tích đa giác. Thay vì chỉ cho một kết quả duy nhất, công cụ lập bảng quét số cạnh n từ giá trị bắt đầu đến giá trị kết thúc, để bạn có thể so sánh tam giác, hình vuông, ngũ giác, lục giác và hơn thế nữa cạnh nhau cùng lúc. Phép tính thuần túy là hình học và đúng ở mọi nơi, với bất kỳ đơn vị độ dài nhất quán nào.
Cách sử dụng
Nhập độ dài cạnh \(a\) (một số dương bất kỳ), rồi thiết lập dải số cạnh: "Số cạnh n của đa giác đều (từ)" và "Số cạnh n của đa giác đều (đến)". Vì một đa giác cần ít nhất ba cạnh nên \(n\) bắt đầu từ 3. Bảng tạo ra mỗi dòng cho một giá trị nguyên \(n\), tối đa 200 dòng. Để có một kết quả duy nhất, bạn chỉ cần đặt giá trị "từ" và "đến" bằng nhau.
Giải thích công thức
Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với trung điểm của mọi cạnh, và bán kính của nó chính là trung đoạn (apothem) của đa giác. Với góc đo bằng radian và \(n\) cạnh có độ dài \(a\), bán kính nội tiếp là $$r = \frac{a}{2\tan(\pi/n)}$$ Diện tích đường tròn nội tiếp suy ra từ công thức diện tích hình tròn quen thuộc \(S_c = \pi r^2\). Diện tích đa giác bằng một nửa chu vi nhân với trung đoạn, rút gọn thành $$S_p = \frac{n\,a^2}{4\tan(\pi/n)}$$ Vì \(0 < \pi/n < \pi/2\) với mọi \(n \ge 3\) nên \(\tan(\pi/n)\) luôn dương, do đó không bao giờ xảy ra phép chia cho 0.
Ví dụ minh họa
Với lục giác đơn vị, \(a = 1\) và \(n = 6\). Ở đây \(\pi/6 = 0{,}5235988\) rad và \(\tan(\pi/6) = 0{,}5773503\). Bán kính nội tiếp là $$r = \frac{1}{2 \times 0{,}5773503} = 0{,}8660254$$ Diện tích đường tròn nội tiếp là $$S_c = \pi \times 0{,}8660254^2 = \pi \times 0{,}75 = 2{,}3561945$$ Diện tích đa giác là $$S_p = \frac{6}{4 \times 0{,}5773503} = 2{,}5980762$$ đúng bằng diện tích lục giác đã biết \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\).
Câu hỏi thường gặp
Đường tròn nội tiếp khác đường tròn ngoại tiếp ở chỗ nào? Đường tròn nội tiếp nằm bên trong và tiếp xúc với mỗi cạnh tại trung điểm; còn đường tròn ngoại tiếp đi qua các đỉnh. Công cụ này tính đường tròn nội tiếp.
Vì sao diện tích đa giác tăng khi n tăng? Vì độ dài cạnh \(a\) được giữ cố định, \(n\) càng lớn nghĩa là hình càng lớn về mặt vật lý, nên cả hai diện tích đều tăng; hình dạng đa giác ngày càng tiến gần đường tròn nội tiếp nhưng cả hai vẫn tiếp tục lớn lên.
Dùng đơn vị nào? Bất kỳ đơn vị độ dài nào bạn nhập cho \(a\). Độ dài trả về theo đơn vị đó và diện tích theo đơn vị bình phương của nó.
