À quoi sert ce calculateur
Cet outil part de la longueur du côté d'un polygone régulier pour déterminer son cercle inscrit, en renvoyant le rayon de ce cercle (l'apothème), l'aire du cercle inscrit et l'aire du polygone. Plutôt qu'un résultat unique, il génère un tableau qui fait varier le nombre de côtés \(n\), d'une valeur de départ à une valeur d'arrivée : vous pouvez ainsi comparer côte à côte un triangle, un carré, un pentagone, un hexagone et au-delà. Les calculs relèvent de la géométrie pure et restent valables partout, dans n'importe quelle unité de longueur cohérente.
Mode d'emploi
Saisissez la longueur du côté \(a\) (un nombre positif quelconque), puis définissez la plage du nombre de côtés : « Polygone régulier \(n\) (de) » et « Polygone régulier \(n\) (à) ». Comme un polygone compte au minimum trois côtés, \(n\) démarre à 3. Le tableau affiche une ligne par valeur entière de \(n\), dans la limite de 200 lignes. Pour obtenir un résultat unique, donnez la même valeur aux champs « de » et « à ».
La formule expliquée
Le cercle inscrit touche le milieu de chaque côté, et son rayon correspond à l'apothème du polygone. En mesurant les angles en radians, pour \(n\) côtés de longueur \(a\), l'apothème vaut $$r = \frac{a}{2\tan(\pi/n)}$$ L'aire du cercle inscrit découle de la formule classique du cercle : $$S_c = \pi \times r^2$$ L'aire du polygone est égale à la moitié du périmètre multipliée par l'apothème, ce qui se simplifie en $$S_p = \frac{n \times a^2}{4\tan(\pi/n)}$$ Comme \(0 < \pi/n < \pi/2\) dès que \(n \ge 3\), \(\tan(\pi/n)\) est toujours positif : il n'y a jamais de division par zéro.
Exemple détaillé
Prenons un hexagone unitaire : \(a = 1\) et \(n = 6\). Ici, \(\pi/6 = 0{,}5235988\) rad et \(\tan(\pi/6) = 0{,}5773503\). L'apothème vaut $$r = \frac{1}{2 \times 0{,}5773503} = 0{,}8660254$$ L'aire du cercle inscrit est $$S_c = \pi \times 0{,}8660254^2 = \pi \times 0{,}75 = 2{,}3561945$$ L'aire du polygone est $$S_p = \frac{6}{4 \times 0{,}5773503} = 2{,}5980762$$ ce qui correspond bien à l'aire connue de l'hexagone \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\).
FAQ
Quelle différence entre cercle inscrit et cercle circonscrit ? Le cercle inscrit se trouve à l'intérieur et touche chaque côté en son milieu ; le cercle circonscrit, lui, passe par les sommets. Cet outil calcule le cercle inscrit.
Pourquoi l'aire du polygone augmente-t-elle quand \(n\) grandit ? Parce que la longueur du côté \(a\) reste fixe : un \(n\) plus grand correspond donc à une figure physiquement plus grande, et les deux aires augmentent. La forme du polygone se rapproche de celle du cercle inscrit, mais toutes deux continuent de croître.
Quelles unités utiliser ? Celle que vous attribuez à \(a\). Les longueurs sont exprimées dans cette unité, et les aires dans son carré.
