Qu'est-ce qu'un polygone régulier ?
Un polygone régulier est une figure fermée dont tous les côtés ont la même longueur et dont tous les angles intérieurs sont égaux. Parmi les exemples les plus courants figurent le triangle équilatéral (3 côtés), le carré (4 côtés), le pentagone (5), l'hexagone (6), et ainsi de suite. Comme chaque côté et chaque angle sont identiques, toutes ses mesures clés se déduisent de deux valeurs seulement : le nombre de côtés n et la longueur d'un côté s.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre de côtés (n'importe quel entier à partir de 3) ainsi que la longueur d'un côté. Le calculateur affiche instantanément l'aire, le périmètre, l'apothème (le rayon inscrit, c'est-à-dire la distance entre le centre et le milieu d'un côté), le rayon circonscrit (la distance entre le centre et un sommet), ainsi que les angles intérieur et extérieur.
La formule expliquée
L'aire fait appel à la fonction cotangente :
$$A = \frac{1}{4}\,n\,s^2\,\cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$À mesure que le nombre de côtés augmente, le polygone se rapproche d'un cercle, et le terme en cotangente traduit précisément cette géométrie. Le périmètre se calcule tout simplement par
$$P = n \times s$$L'apothème vaut \(a = \dfrac{s}{2\tan(\pi/n)}\) et le rayon circonscrit \(R = \dfrac{s}{2\sin(\pi/n)}\). Quant à chaque angle intérieur, il est égal à \(\dfrac{(n-2)\cdot 180}{n}\) degrés.
Exemple concret
Prenons un hexagone régulier (\(n = 6\)) dont les côtés mesurent \(s = 10\) : le périmètre est de \(6 \times 10 = 60\) unités. L'aire vaut
$$\frac{1}{4} \times 6 \times 10^2 \times \cot\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 150 \times 1{,}7320508 \approx 259{,}81 \text{ unités carrées.}$$L'angle intérieur, lui, est de \(\dfrac{(6-2)\cdot 180}{6} = 120°\).
FAQ
Quel est le nombre minimal de côtés ? Un polygone doit comporter au moins 3 côtés ; le calculateur exige donc \(n \geq 3\).
Quelles unités sont utilisées ? L'outil est indépendant des unités : le résultat s'exprime dans la même unité que celle saisie. Si la longueur d'un côté est en cm, l'aire sera en cm².
Fonctionne-t-il pour les polygones comptant un grand nombre de côtés ? Oui. Plus n augmente, plus l'aire et le périmètre convergent vers ceux d'un cercle de rayon circonscrit équivalent.
