नियमित बहुभुज क्या होता है?
नियमित बहुभुज एक बंद आकृति होती है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं और सभी आंतरिक कोण भी एक समान होते हैं। इसके सामान्य उदाहरणों में समबाहु त्रिभुज (3 भुजाएँ), वर्ग (4 भुजाएँ), पंचभुज (5), षट्भुज (6) इत्यादि शामिल हैं। चूँकि हर भुजा और हर कोण एक जैसा होता है, इसलिए इसके सभी मुख्य मापों को केवल दो मानों से निकाला जा सकता है — भुजाओं की संख्या n और भुजा की लंबाई s।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
भुजाओं की संख्या (3 या उससे अधिक कोई भी पूर्ण संख्या) और किसी एक भुजा की लंबाई दर्ज करें। कैलकुलेटर तुरंत क्षेत्रफल, परिमाप, अंतःत्रिज्या (apothem — केंद्र से किसी भुजा के मध्य तक की दूरी), परित्रिज्या (केंद्र से किसी शीर्ष तक की दूरी), और आंतरिक व बाह्य दोनों कोण दिखा देगा।
सूत्र की व्याख्या
क्षेत्रफल निकालने में कोटैंजेंट फलन का प्रयोग होता है: $$A = \frac{1}{4}\,n\,s^2\,\cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$। जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या बढ़ती है, बहुभुज एक वृत्त के करीब पहुँचता जाता है, और cotangent वाला पद इसी ज्यामिति को दर्शाता है। परिमाप बस $$P = n \times s$$ होता है। अंतःत्रिज्या \(a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)}\) है और परित्रिज्या \(R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)}\) है। प्रत्येक आंतरिक कोण \(\frac{(n-2)\cdot 180}{n}\) डिग्री के बराबर होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
एक नियमित षट्भुज (\(n = 6\)) के लिए जिसकी भुजा की लंबाई \(s = 10\) है: परिमाप होगा $$6 \times 10 = 60$$ इकाई। क्षेत्रफल होगा $$\frac{1}{4} \times 6 \times 10^2 \times \cot\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 150 \times 1.7320508 \approx 259.81$$ वर्ग इकाई। आंतरिक कोण होगा $$\frac{(6-2)\cdot 180}{6} = 120°$$।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
भुजाओं की न्यूनतम संख्या कितनी होती है? किसी भी बहुभुज में कम से कम 3 भुजाएँ होनी चाहिए, इसलिए कैलकुलेटर में \(n \geq 3\) आवश्यक है।
यह किन इकाइयों का उपयोग करता है? यह टूल किसी एक इकाई से बंधा नहीं है — जो इकाई आप दर्ज करते हैं, परिणाम भी उसी इकाई में आता है। यदि भुजा की लंबाई सेमी में है, तो क्षेत्रफल सेमी² में होगा।
क्या यह बहुत अधिक भुजाओं वाले बहुभुजों के लिए भी काम करता है? हाँ। जैसे-जैसे \(n\) बढ़ता है, क्षेत्रफल और परिमाप उसी परित्रिज्या वाले वृत्त के मानों के करीब पहुँचते जाते हैं।
