डोडेकागन क्या होता है?
डोडेकागन एक ऐसा बहुभुज है जिसकी 12 भुजाएँ और 12 कोण होते हैं। एक नियमित डोडेकागन में सभी भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं और हर आंतरिक कोण 150° का होता है। यह कैलकुलेटर सिर्फ़ एक माप — भुजा की लंबाई a — से नियमित डोडेकागन का क्षेत्रफल और परिमाप सीधे निकाल देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
डोडेकागन की किसी एक भुजा की लंबाई दर्ज करें और कैलकुलेट पर क्लिक करें। यह टूल घेरे गए क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) और कुल परिमाप का परिणाम देता है। आप भुजा की लंबाई के लिए जो भी इकाई इस्तेमाल करेंगे (सेमी, मीटर, इंच), उत्तर की इकाई भी वही रहेगी — क्षेत्रफल उस इकाई के वर्ग में आएगा।
सूत्र की व्याख्या
नियमित डोडेकागन का सटीक क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$$A = 3\left(2 + \sqrt{3}\right)\,a^{2}$$
यह सामान्य नियमित-बहुभुज क्षेत्रफल सूत्र \(A = \frac{1}{4}\cdot n\cdot a^{2}\cdot \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)\) से आता है, जहाँ \(n = 12\) रखा गया है। चूँकि \(\cot\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2 + \sqrt{3}\) होता है, इसलिए यह स्थिरांक सरल होकर \(3(2 + \sqrt{3}) \approx 11.196152\) बन जाता है। परिमाप बस भुजा की लंबाई का 12 गुना होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए किसी नियमित डोडेकागन की हर भुजा 10 इकाई की है। तब:
$$A = 3 \times (2 + 1.7320508) \times 10^{2} = 3 \times 3.7320508 \times 100 = \textbf{1{,}119.62 वर्ग इकाई}$$
और परिमाप \(= 12 \times 10 = 120\) इकाई।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या यह अनियमित डोडेकागन के लिए काम करता है? नहीं। यह सूत्र एक नियमित डोडेकागन मानता है जिसकी सभी भुजाएँ और कोण बराबर हों। अनियमित आकृतियों को त्रिभुजों में बाँटकर हल करना पड़ता है।
स्थिरांक \(3(2+\sqrt{3})\) क्या है? यह लगभग 11.196152 होता है — यह उस नियमित डोडेकागन का क्षेत्रफल है जिसकी भुजा की लंबाई ठीक 1 हो।
क्या मैं कोई भी इकाई इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ — परिणाम बस उसी लंबाई की इकाई का वर्ग ले लेता है जो आप भुजा के लिए दर्ज करते हैं।
