डबल एंगल कैलकुलेटर क्या है?
यह डबल एंगल कैलकुलेटर आपके द्वारा डाले गए किसी भी कोण के लिए तीन प्रमुख डबल-एंगल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं — \(\sin(2x)\), \(\cos(2x)\) और \(\tan(2x)\) — का मान निकालता है। ये सर्वसमिकाएँ दोगुने कोण (2x) के त्रिकोणमितीय फलनों को मूल कोण (x) के रूप में व्यक्त करती हैं, और कैलकुलस, भौतिकी, सिग्नल प्रोसेसिंग तथा परीक्षा के प्रश्नों में बार-बार काम आती हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
अपना कोण x डालें, फिर चुनें कि यह मान डिग्री में है या रेडियन में। कैलकुलेटर अंदरूनी तौर पर इसे रेडियन में बदलता है, कोण को दोगुना करता है, और 2x का साइन, कोसाइन तथा टैंजेंट लौटाता है। अगर \(\cos(2x)\) शून्य हो जाए (जैसे x = 45° पर), तो हर शून्य हो जाने के कारण \(\tan(2x)\) अपरिभाषित होता है और इसे वैसा ही दिखाया जाता है।
सूत्रों की व्याख्या
दोनों कोणों को x के बराबर रखकर कोण-योग सर्वसमिकाओं से शुरू करते हुए:
• $$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$$ — यह \(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\) से प्राप्त होता है।
• $$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$ — यह \(\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\) से प्राप्त होता है। इसके समतुल्य रूप हैं \(1 - 2\sin^2 x\) और \(2\cos^2 x - 1\)।
• $$\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$$ — यह टैंजेंट के योग सूत्र से प्राप्त होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए x = 30°। तब 2x = 60°। तो \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866025\), \(\cos(60°) = 0.5\), और \(\tan(60°) = \sqrt{3} \approx 1.732051\)। सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए:
$$2 \sin 30° \cos 30° = 2(0.5)(0.866025) = 0.866025 \checkmark$$और
$$\cos^2 30° - \sin^2 30° = 0.75 - 0.25 = 0.5 \checkmark$$अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(\tan(2x)\) कभी-कभी अपरिभाषित क्यों होता है? जब \(\cos(2x) = 0\) होता है (जैसे x = 45°, 2x = 90°), तो शून्य से भाग देने के कारण टैंजेंट अपरिभाषित हो जाता है।
क्या मैं ऋणात्मक कोण डाल सकता हूँ? हाँ। ऋणात्मक और बड़े कोण भी ठीक काम करते हैं; परिणाम सामान्य त्रिकोणमितीय आवर्तिता का पालन करते हैं।
डिग्री या रेडियन? जो भी आपके प्रश्न में इस्तेमाल हो, उसे चुनें। संदर्भ के लिए 2x का समतुल्य मान डिग्री में भी दिखाया जाता है।
