2배각 공식 계산기란?
이 2배각 계산기는 입력한 각도에 대해 가장 기본이 되는 세 가지 삼각함수 2배각 공식 — \(\sin(2x)\), \(\cos(2x)\), \(\tan(2x)\) — 의 값을 한 번에 구해 줍니다. 2배각 공식은 두 배가 된 각(\(2x\))의 삼각함수를 원래 각(\(x\))으로 나타내는 항등식으로, 미적분, 물리학, 신호 처리는 물론 시험 문제에서도 빠지지 않고 등장합니다.
사용 방법
먼저 각도 x를 입력한 뒤, 그 값이 도(°)인지 라디안인지 선택하세요. 계산기는 내부적으로 라디안으로 변환한 다음 각을 두 배로 만들고, \(2x\)에 대한 사인·코사인·탄젠트 값을 돌려줍니다. 만약 \(\cos(2x)\)가 0이 되는 경우(예: \(x = 45^\circ\))에는 분모가 0이 되어 \(\tan(2x)\)가 정의되지 않으며, 이때는 '정의되지 않음'으로 표시됩니다.
공식 한눈에 보기
두 각이 모두 \(x\)인 각의 합 공식에서 출발하면 다음과 같이 유도됩니다.
$$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$$ — \(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\) 에서 유도됩니다.
$$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$ — \(\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\) 에서 유도됩니다. \(1 - 2\sin^2 x\), \(2\cos^2 x - 1\) 과도 같은 식입니다.
$$\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$$ — 탄젠트 덧셈 공식에서 유도됩니다.
예제로 확인하기
\(x = 30^\circ\)라고 해 봅시다. 그러면 \(2x = 60^\circ\)이므로 \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866025\), \(\cos(60^\circ) = 0.5\), \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732051\) 입니다. 공식에 대입해 보면 $$2 \sin 30^\circ \cos 30^\circ = 2(0.5)(0.866025) = 0.866025 \checkmark$$ $$\cos^2 30^\circ - \sin^2 30^\circ = 0.75 - 0.25 = 0.5 \checkmark$$ 로 정확히 일치합니다.
자주 묻는 질문
\(\tan(2x)\)가 정의되지 않을 때가 있는 이유는? \(\cos(2x) = 0\)이 되는 경우(예: \(x = 45^\circ\), \(2x = 90^\circ\))에는 0으로 나누게 되어 탄젠트 값이 정의되지 않습니다.
음수 각도도 입력할 수 있나요? 가능합니다. 음수나 큰 각도도 문제없이 계산되며, 결과는 삼각함수의 주기성을 그대로 따릅니다.
도와 라디안 중 무엇을 써야 하나요? 풀고 있는 문제에서 쓰는 단위를 선택하면 됩니다. 참고용으로 \(2x\)에 해당하는 값도 도(°) 단위로 함께 표시됩니다.
