İki Kat Açı Hesaplama Aracı nedir?
Bu araç, girdiğiniz herhangi bir açı için üç temel iki kat açı trigonometrik özdeşliğini — \(\sin(2x)\), \(\cos(2x)\) ve \(\tan(2x)\) — hesaplar. Bu özdeşlikler, iki katına çıkarılmış bir açının (\(2x\)) trigonometrik değerlerini orijinal açı (\(x\)) cinsinden ifade eder ve analiz (kalkülüs), fizik, sinyal işleme ile sınav sorularında sürekli karşımıza çıkar.
Nasıl kullanılır?
x açınızı girin, ardından değerin derece mi yoksa radyan cinsinden mi olduğunu seçin. Araç değeri arka planda radyana çevirir, açıyı ikiye katlar ve \(2x\)'in sinüs, kosinüs ile tanjant değerlerini verir. Eğer \(\cos(2x)\) sıfıra eşitse (örneğin \(x = 45°\) için), payda sıfır olduğundan \(\tan(2x)\) tanımsızdır ve bu şekilde gösterilir.
Formüllerin açıklaması
Her iki açının da \(x\)'e eşit olduğu açı toplamı özdeşliklerinden yola çıkarak:
$$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$$ — \(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\) özdeşliğinden türetilir.
$$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$ — \(\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\) özdeşliğinden türetilir. Eşdeğer biçimleri \(1 - 2\sin^2 x\) ve \(2\cos^2 x - 1\) şeklindedir.
$$\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$$ — tanjant toplama formülünden türetilir.
Çözümlü örnek
\(x = 30°\) olsun. Bu durumda \(2x = 60°\) olur. Yani \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866025\), \(\cos(60°) = 0{,}5\) ve \(\tan(60°) = \sqrt{3} \approx 1{,}732051\). Özdeşlikleri kullanarak: $$2 \sin 30° \cos 30° = 2(0{,}5)(0{,}866025) = 0{,}866025 \;\checkmark$$ ve $$\cos^2 30° - \sin^2 30° = 0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5 \;\checkmark$$
Sıkça Sorulan Sorular
\(\tan(2x)\) neden bazen tanımsız oluyor? \(\cos(2x) = 0\) olduğunda (örneğin \(x = 45°\), \(2x = 90°\)), sıfıra bölme tanjantı tanımsız hâle getirir.
Negatif açı girebilir miyim? Evet. Negatif ve büyük açılar sorunsuz çalışır; sonuçlar standart trigonometrik periyodiklik kurallarına uyar.
Derece mi radyan mı? Probleminizde hangisi kullanılıyorsa onu seçin. \(2x\) karşılığı referans olması için derece cinsinden de gösterilir.
