이 변환기로 할 수 있는 일
이 도구는 3차원 직교좌표(x, y, z)로 주어진 점을 구면좌표(r, θ, φ)로 변환합니다. 모든 실수 입력값에 대해 작동하는 순수 수학 도구이며, 두 각도를 도(°) 단위로 표시할지 라디안 단위로 표시할지 직접 선택할 수 있습니다.
이 페이지에서 사용하는 표기 규약
구면좌표의 표기 규약은 교재마다 다를 수 있으므로, 이 페이지의 규약을 정확히 따라주세요. 여기서 r은 원점으로부터의 반지름 거리, θ(theta)는 x-y 평면에서 양의 x축을 기준으로 측정한 방위각(azimuth), φ(phi)는 양의 z축에서 아래로 측정한 극각(천정각, inclination)입니다.
변환 공식
$$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$ 각도 계산에는 안정성을 위해 두 인수를 받는 아크탄젠트 함수를 사용합니다: $$\theta = \operatorname{atan2}(y,\, x), \quad \varphi = \operatorname{atan2}\!\left(\sqrt{x^2+y^2},\, z\right)$$ 단순한 \(\operatorname{atan}(y/x)\) 대신 \(\operatorname{atan2}\)를 쓰면 0으로 나누는 문제를 피할 수 있고, 올바른 사분면 값을 그대로 유지할 수 있습니다. 삼각함수의 결과는 모두 라디안 단위이며, "도(°)"를 선택하면 각 각도에 \(\frac{180}{\pi}\)를 곱해 변환합니다.
사용 방법
점의 x, y, z 성분을 입력하고 출력 각도 단위를 고른 뒤, r, θ, φ 값을 확인하세요. r 값은 선택한 각도 단위와 무관하게 동일합니다.
계산 예시
x = 3, y = 4, z = 5 를 도(°) 단위로 변환하는 경우: $$r = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 7.071068$$ $$\theta = \operatorname{atan2}(4,\, 3) = 0.927295\ \text{rad} = 53.130102°$$ \(\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{25} = 5\) 이므로, $$\varphi = \operatorname{atan2}(5,\, 5) = \operatorname{atan}(1) = 0.785398\ \text{rad} = 45°$$
자주 묻는 질문
x = 0 이면 어떻게 되나요? atan2가 깔끔하게 처리합니다. x = 0 이고 y > 0 이면 θ = 90°, y < 0 이면 θ = -90° 가 됩니다.
z = 0 이면요? 점이 x-y 평면 위에 놓이므로 \(\varphi = 90°\,(\pi/2)\) 입니다. z < 0 인 경우에는 φ가 90°보다 큰 값으로 정확히 계산됩니다.
원점은 어떻게 되나요? x = y = z = 0 이면 r = 0 이고, 각도는 수학적으로 정의되지 않습니다. 이 도구는 atan2 규약에 따라 두 각도 모두 0으로 표시합니다.
