이 계산기의 기능
회전타원체(spheroid)는 타원을 두 축 중 하나를 중심으로 회전시켜 만든 입체, 즉 회전 타원면입니다. 이 도구는 회전타원체 분절(segment)의 기하학적 값을 계산합니다. 분절이란 회전축에 수직인 평면으로 회전타원체를 잘랐을 때 남는 조각을 말합니다. 계산 결과로는 분절의 부피, 잘린 원형 단면의 밑면 넓이, 그리고 옆벽에 해당하는 곡면(측면) 표면적을 알려줍니다.
사용 방법
적도 반축 a(회전축에 수직인 두 방향의 반지름), 회전축 방향의 반축 c, 그리고 아래 끝점에서 잰 분절의 높이 h를 입력하세요. 세 값은 모두 같은 길이 단위로 통일해야 합니다. 그러면 부피는 단위³, 넓이는 단위²로 산출됩니다. 높이는 \(0 < h \le 2c\) 조건을 만족해야 하며, \(h = 2c\)로 설정하면 회전타원체 전체의 값이 나옵니다.
수식 설명
회전타원체 방정식 \(x^{2}/a^{2} + z^{2}/c^{2} = 1\)에서, 축 높이 \(z\)에서의 원판 반지름은 \(r(z) = a\sqrt{1 - z^{2}/c^{2}}\)입니다. 바닥(\(z = -c\))부터 절단면(\(z = h - c\))까지 \(\pi r^{2}\)을 적분하면 다음과 같이 됩니다.
$$V = \frac{\pi\,\text{a}^{2}\,\text{h}^{2}}{3\,\text{c}^{2}}\left(3\,\text{c} - \text{h}\right)$$밑면 넓이는 절단면 반지름의 제곱에 \(\pi\)를 곱한 값으로 다음과 같습니다.
$$A = \frac{\pi\,\text{a}^{2}\,\text{h}\left(2\,\text{c} - \text{h}\right)}{\text{c}^{2}}$$곡면 벽은 회전면이므로 다음 적분으로 구하는데,
$$S = 2\pi \int r\sqrt{1 + \left(\frac{dr}{dz}\right)^{2}}\;dz$$여기서는 정밀한 수치 적분으로 계산하여 장형(prolate)·편형(oblate)·구형 어느 형태에도 동일하게 적용됩니다.
계산 예시
\(a = 2\), \(c = 4\), \(h = 3\)인 경우를 봅시다(\(c > a\)이므로 장형입니다). 부피 \(= \pi\cdot 4\cdot 9\cdot (12 - 3)/(3\cdot 16) = \pi\cdot 324/48 \approx 21.206\) 단위³. 밑면 넓이 \(= \pi\cdot 4\cdot 3\cdot (8 - 3)/16 = \pi\cdot 3.75 \approx 11.781\) 단위². 곡면 표면적은 적분 결과 약 \(25.30\) 단위²입니다.
자주 묻는 질문
밑면 넓이가 표면적에 포함되나요? 아니요. 여기서 제공하는 표면적은 회전타원체의 곡면 벽만을 가리킵니다. 닫힌 분절의 전체 표면적이 필요하다면 밑면 넓이를 따로 더해야 합니다.
a와 c가 같으면 어떻게 되나요? 회전타원체가 반지름 \(R = a = c\)인 구가 되며, 결과는 표준 구관(spherical cap) 공식 \(V = \pi h^{2}(3R - h)/3\), \(S = 2\pi Rh\)와 일치합니다.
장형(prolate)과 편형(oblate)의 차이는? 장형은 \(c > a\)로 축 방향으로 길쭉한 달걀 모양이고, 편형은 \(c < a\)로 납작한 모양입니다. 수치 적분 방식이라 공식을 바꾸지 않고도 두 경우를 모두 처리합니다.
