この計算ツールでできること
回転楕円体とは、楕円を一方の軸を中心に回転させてできる立体（楕円体）のことです。本ツールでは、その回転楕円体を回転軸に垂直な平面で切り取ったときに残る切断片（一部が欠けた回転楕円体）の形状を計算します。求められるのは切断片の体積、切り口となる円形の底面積、そして側壁にあたる曲面（側面）の面積です。
使い方
赤道方向の半軸a（回転軸に垂直な2方向の半径）、回転軸方向の半軸c、そして底の先端から測った切断片の高さhを入力してください。3つの値はすべて同じ長さの単位でそろえてください。体積は単位の3乗（unit³）、面積は単位の2乗（unit²）で出力されます。高さは \(0 < h \le 2c\) を満たす必要があり、\(h = 2c\) とすると回転楕円体全体の値が得られます。
計算式の解説
回転楕円体を \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\) とすると、軸方向の高さ \(z\) における円盤の半径は \(r(z) = a\sqrt{1 - z^{2}/c^{2}}\) です。\(\pi r^{2}\) を底（\(z = -c\)）から切り口（\(z = h - c\)）まで積分すると、体積は $$V = \frac{\pi\,a^{2}\,h^{2}}{3\,c^{2}}\left(3\,c - h\right)$$ となります。底面積は切り口の半径の2乗に\(\pi\)を掛けたもので、$$A = \frac{\pi\,a^{2}\,h\left(2\,c - h\right)}{c^{2}}$$ です。側壁は回転面なので、その面積は $$S = 2\pi \int r\sqrt{1 + \left(\frac{dr}{dz}\right)^{2}}\;dz$$ で表され、本ツールでは細かい数値積分によって求めています。これにより、扁長（プロレート）・扁平（オブレート）・球のいずれの形状でも正しく計算できます。
計算例
\(a = 2\)、\(c = 4\)、\(h = 3\)（\(c > a\) なので扁長＝プロレート）の場合を考えます。体積は $$\frac{\pi\cdot 4\cdot 9\cdot(12 - 3)}{3\cdot 16} = \frac{\pi\cdot 324}{48} \approx 21.206\ \text{unit}^{3}.$$ 底面積は $$\frac{\pi\cdot 4\cdot 3\cdot(8 - 3)}{16} = \pi\cdot 3.75 \approx 11.781\ \text{unit}^{2}.$$ 側面積を数値積分すると約 \(25.30\ \text{unit}^{2}\) になります。
よくある質問
底面積は表面積に含まれますか？ いいえ。表示される表面積は曲面の側壁部分だけです。閉じた切断片の全表面積が必要な場合は、底面積を別途加えてください。
a と c が等しいときは？ 回転楕円体は半径 \(R = a = c\) の球になり、結果は標準的な球冠（球欠）の公式 \(V = \frac{\pi h^{2}(3R - h)}{3}\) および \(S = 2\pi R h\) と一致します。
扁長（プロレート）と扁平（オブレート）の違いは？ 扁長は \(c > a\)（軸方向に伸びた卵形）、扁平は \(c < a\)（つぶれた形）を指します。本ツールの数値積分による側面積計算は、公式を変えることなくどちらの形状にも対応します。
