Bu hesaplama aracı ne işe yarar?
Sferoid, bir dönel elipsoiddir; yani bir elipsin kendi eksenlerinden biri etrafında döndürülmesiyle oluşan katı cisimdir. Bu araç, bir sferoid segmentinin geometrisini hesaplar: sferoidi dönme eksenine dik bir düzlemle kestiğinizde geriye kalan parçayı. Sonuç olarak segmentin hacmini, düz dairesel kesitin oluşturduğu taban alanını ve duvarın eğri (yanal) yüzey alanını verir.
Nasıl kullanılır?
Ekvatoral yarı eksen a değerini (eksene dik iki yöndeki yarıçap), dönme ekseni boyunca uzanan yarı eksen c değerini ve segmentin alt uçtan itibaren ölçülen yüksekliği h değerini girin. Üç değeri de aynı uzunluk biriminde tutun; hacim birim³ cinsinden, alanlar ise birim² cinsinden çıkar. Yükseklik \(0 < h \le 2c\) koşulunu sağlamalıdır; \(h = 2c\) girdiğinizde aracın tüm sferoidi döndürdüğünü göreceksiniz.
Formüller ve açıklamaları
\(x^{2}/a^{2} + z^{2}/c^{2} = 1\) denklemiyle tanımlı sferoidde, z eksenel yüksekliğindeki disk yarıçapı \(r(z) = a\cdot\sqrt{1 - z^{2}/c^{2}}\) olur. \(\pi r^{2}\) ifadesini alt uçtan (\(z = -c\)) kesite (\(z = h - c\)) kadar integre ettiğimizde $$V = \frac{\pi\,a^{2}\,h^{2}}{3\,c^{2}}\left(3\,c - h\right)$$ elde edilir. Taban alanı, kesit yarıçapının karesinin \(\pi\) katıdır: $$A = \frac{\pi\,a^{2}\,h\left(2\,c - h\right)}{c^{2}}$$ Eğri duvar ise bir dönel yüzeydir: $$S = 2\pi\int r\,\sqrt{1 + \left(\frac{dr}{dz}\right)^{2}}\;dz$$ Bu integral burada ince adımlı sayısal integrasyonla hesaplanır; böylece prolat, oblat ve küresel biçimlerin hepsinde sorunsuz çalışır.
Çözümlü örnek
\(a = 2\), \(c = 4\), \(h = 3\) alalım (\(c > a\) olduğundan prolat). Hacim: $$V = \frac{\pi\cdot 4\cdot 9\cdot(12 - 3)}{3\cdot 16} = \frac{\pi\cdot 324}{48} \approx 21{,}206 \text{ birim}^{3}$$ Taban alanı: $$A = \frac{\pi\cdot 4\cdot 3\cdot(8 - 3)}{16} = \pi\cdot 3{,}75 \approx 11{,}781 \text{ birim}^{2}$$ Eğri yüzey alanı ise integral sonucu yaklaşık \(25{,}30\) birim² çıkar.
Sıkça sorulan sorular
Taban alanı, yüzey alanına dâhil mi? Hayır; bildirilen yüzey alanı yalnızca eğri sferoid duvarını kapsar. Kapalı segmentin toplam yüzeyini istiyorsanız taban alanını ayrıca eklemeniz gerekir.
a, c'ye eşitse ne olur? Sferoid, \(R = a = c\) yarıçaplı bir küreye dönüşür ve sonuçlar standart küre kapağı (spherical cap) formülleriyle örtüşür: \(V = \pi h^{2}(3R - h)/3\) ve \(S = 2\pi Rh\).
Prolat ile oblat arasındaki fark nedir? Prolat, \(c > a\) demektir (eksen boyunca uzamış, yumurta benzeri biçim); oblat ise \(c < a\) demektir (basıklaşmış biçim). Sayısal yüzey integrali, formülü değiştirmeden her iki durumu da işler.
