यह कैलकुलेटर क्या करता है
गोलाभ (स्फेरॉइड) एक घूर्णन दीर्घवृत्त होता है — यानी किसी दीर्घवृत्त को उसके किसी एक अक्ष के चारों ओर घुमाने पर बनने वाला ठोस। यह टूल एक गोलाभीय सेगमेंट की ज्यामिति निकालता है: जब आप गोलाभ को उसके घूर्णन अक्ष के लंबवत किसी सपाट समतल से काटते हैं, तो जो टुकड़ा बचता है वही सेगमेंट है। टूल इस सेगमेंट का आयतन, सपाट गोलाकार कटाव का आधार क्षेत्रफल, और दीवार का वक्र (पार्श्व) पृष्ठ क्षेत्रफल बताता है।
इसका उपयोग कैसे करें
भूमध्यरेखीय अर्ध-अक्ष a (अक्ष के लंबवत दोनों दिशाओं में त्रिज्या), घूर्णन अक्ष के साथ का अर्ध-अक्ष c, और सबसे नीचे के सिरे से मापी गई सेगमेंट की ऊँचाई h दर्ज करें। तीनों मानों की लंबाई की इकाई एक ही रखें; आयतन इकाई³ में और क्षेत्रफल इकाई² में मिलेगा। ऊँचाई \(0 < h \le 2c\) की शर्त पूरी करनी चाहिए; \(h = 2c\) रखने पर पूरा गोलाभ मिल जाता है।
सूत्रों की व्याख्या
गोलाभ \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\) के लिए, अक्षीय ऊँचाई \(z\) पर डिस्क की त्रिज्या \(r(z) = a\cdot\sqrt{1 - z^{2}/c^{2}}\) होती है। \(\pi r^{2}\) का समाकलन सबसे नीचे (\(z = -c\)) से लेकर कटाव (\(z = h - c\)) तक करने पर $$V = \frac{\pi\,a^{2}\,h^{2}}{3\,c^{2}}\left(3\,c - h\right)$$ मिलता है। आधार क्षेत्रफल कटाव की त्रिज्या के वर्ग का \(\pi\) गुना है, अर्थात $$A = \frac{\pi\,a^{2}\,h\left(2\,c - h\right)}{c^{2}}.$$ वक्र दीवार एक घूर्णन पृष्ठ है, $$S = 2\pi \int r\,\sqrt{1 + \left(\frac{dr}{dz}\right)^{2}}\;dz,$$ जिसकी गणना यहाँ सूक्ष्म संख्यात्मक समाकलन से की जाती है, ताकि यह दीर्घवृत्ताकार (प्रोलेट), चपटे (ओबलेट) और गोलाकार — तीनों आकारों पर सही ढंग से काम करे।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 2\), \(c = 4\), \(h = 3\) (प्रोलेट, क्योंकि \(c > a\))। आयतन $$= \frac{\pi\cdot 4\cdot 9\cdot(12 - 3)}{3\cdot 16} = \frac{\pi\cdot 324}{48} \approx 21.206\ \text{इकाई}^{3}.$$ आधार क्षेत्रफल $$= \frac{\pi\cdot 4\cdot 3\cdot(8 - 3)}{16} = \pi\cdot 3.75 \approx 11.781\ \text{इकाई}^{2}.$$ वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल समाकलन से लगभग \(25.30\) इकाई² आता है।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
क्या आधार क्षेत्रफल पृष्ठ क्षेत्रफल में शामिल होता है? नहीं — यहाँ बताया गया पृष्ठ क्षेत्रफल केवल वक्र गोलाभीय दीवार का है। बंद सेगमेंट का कुल पृष्ठ चाहिए तो उसमें आधार क्षेत्रफल जोड़ लें।
अगर a और c बराबर हों तो? तब गोलाभ \(R = a = c\) त्रिज्या वाला गोला बन जाता है, और परिणाम मानक गोलीय-टोपी (स्फेरिकल कैप) सूत्रों \(V = \frac{\pi h^{2}(3R - h)}{3}\) तथा \(S = 2\pi R h\) से मेल खाते हैं।
प्रोलेट बनाम ओबलेट? प्रोलेट का अर्थ है \(c > a\) (अक्ष के साथ अंडे जैसा लंबा); ओबलेट का अर्थ है \(c < a\) (चपटा)। संख्यात्मक पृष्ठ समाकलन दोनों को बिना सूत्र बदले संभाल लेता है।
