Máy tính thể tích chỏm phỏng cầu

Nhập phép tính

Bán trục a

Bán trục c (trục quay)

Height h (from bottom, ≤ 2c)

Công thức

Show calculation steps (2)

1. Base (Cut-Face) Area

   

   Area of the flat circular cut face at height h.

2. Lateral (Curved) Surface Area

   

   Surface of revolution about the c-axis from the tip up to z = h - c, with r(z) = a sqrt(1 - z^2/c^2).

Kết quả

Thể tích đoạn chỏm phỏng cầu

21,2058

cubic units (unit³)

Diện tích đáy (mặt cắt)	11,781 unit²
Diện tích mặt (thành cong)	30,4894 unit²

Công cụ này làm được gì

Phỏng cầu (spheroid) là một ellipsoid tròn xoay — khối hình thành khi quay một hình elip quanh một trong các trục của nó. Công cụ này tính toán hình học của một đoạn phỏng cầu: phần còn lại khi bạn cắt phỏng cầu bằng một mặt phẳng vuông góc với trục quay. Kết quả trả về gồm thể tích của đoạn cắt, diện tích đáy của mặt cắt tròn phẳng và diện tích mặt cong (mặt bên) của thành khối.

A spheroid of revolution sliced by a horizontal plane; the shaded lower segment of height h is what the calculator measures.

Cách sử dụng

Nhập bán trục xích đạo a (bán kính theo hai phương vuông góc với trục), bán trục c dọc theo trục quay, và chiều cao h của đoạn cắt đo từ đỉnh dưới cùng lên. Hãy dùng cùng một đơn vị độ dài cho cả ba giá trị; thể tích sẽ có đơn vị³ còn diện tích có đơn vị². Chiều cao phải thỏa mãn \(0 < h \le 2c\); nếu đặt \(h = 2c\) thì công cụ trả về toàn bộ phỏng cầu.

Giải thích các công thức

Với phỏng cầu \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\), bán kính của lát cắt tròn tại độ cao \(z\) trên trục là \(r(z) = a\sqrt{1 - z^{2}/c^{2}}\). Lấy tích phân \(\pi r^{2}\) từ đáy (\(z = -c\)) lên đến mặt cắt (\(z = h - c\)), ta được $$V = \frac{\pi\,a^{2}\,h^{2}\left(3c - h\right)}{3c^{2}}.$$ Diện tích đáy bằng \(\pi\) nhân bình phương bán kính mặt cắt: $$A = \frac{\pi\,a^{2}\,h\left(2c - h\right)}{c^{2}}.$$ Thành cong là một mặt tròn xoay, $$S = 2\pi \int r\,\sqrt{1 + \left(\frac{dr}{dz}\right)^{2}}\;dz,$$ được tính ở đây bằng tích phân số mịn để áp dụng được cho cả phỏng cầu dẹt, phỏng cầu dài lẫn hình cầu.

Quảng cáo

The segment has a curved surface, a flat circular base, and a base radius defining the cut.

Ví dụ minh họa

Lấy \(a = 2\), \(c = 4\), \(h = 3\) (phỏng cầu dài, vì \(c > a\)). Thể tích $$V = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 9 \cdot (12 - 3)}{3 \cdot 16} = \frac{\pi \cdot 324}{48} \approx 21{,}206 \text{ đơn vị}^{3}.$$ Diện tích đáy $$A = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 3 \cdot (8 - 3)}{16} = \pi \cdot 3{,}75 \approx 11{,}781 \text{ đơn vị}^{2}.$$ Diện tích mặt cong khi lấy tích phân vào khoảng \(25{,}30\) đơn vị².

Câu hỏi thường gặp

Diện tích đáy có được tính vào diện tích mặt cong không? Không — diện tích mặt được báo cáo chỉ là phần thành cong của phỏng cầu. Hãy cộng thêm diện tích đáy nếu bạn cần tổng diện tích bề mặt của đoạn khối kín.

Nếu a bằng c thì sao? Khi đó phỏng cầu trở thành hình cầu bán kính \(R = a = c\), và kết quả trùng khớp với công thức chỏm cầu quen thuộc \(V = \frac{\pi h^{2}(3R - h)}{3}\) và \(S = 2\pi R h\).

Phỏng cầu dài và phỏng cầu dẹt khác nhau thế nào? Phỏng cầu dài (prolate) là khi \(c > a\) (kéo dài như quả trứng dọc theo trục); phỏng cầu dẹt (oblate) là khi \(c < a\) (bẹt lại). Tích phân số cho diện tích mặt xử lý được cả hai trường hợp mà không cần đổi công thức.