Chỏm cầu là gì?
Chỏm cầu (còn gọi là mái vòm cầu hay hình cầu bị cắt với một mặt đáy) là phần khối thu được khi bạn cắt một khối cầu bằng một mặt phẳng và giữ lại phần "bị cắt rời" nhỏ hơn. Hình này được xác định bởi bán kính khối cầu \(R\) và chiều cao chỏm \(h\) — khoảng cách từ mặt phẳng cắt đến đỉnh của mái vòm. Đây là công cụ hình học mang tính phổ quát: các công thức áp dụng giống hệt nhau ở mọi nơi và với mọi đơn vị đo độ dài.
Cách sử dụng
Nhập bán kính khối cầu \(R\) và chiều cao chỏm \(h\), sau đó chọn đơn vị đo độ dài (cùng một đơn vị được dùng cho cả dữ liệu nhập vào lẫn kết quả). Điều kiện ràng buộc là \(0 < h \le 2R\): khi \(h = 2R\) thì chỏm trở thành cả khối cầu, còn khi \(h = R\) thì nó là một nửa khối cầu (bán cầu). Máy tính sẽ cho bạn bán kính đáy phẳng \(a\), thể tích chỏm, diện tích mặt cong (mặt cầu), diện tích đáy phẳng và tổng diện tích bề mặt.
Giải thích các công thức
Bán kính đáy được suy ra từ hệ thức trong tam giác vuông \(a^{2} = h(2R - h)\), nên $$a = \sqrt{h\left(2R - h\right)}$$ Thể tích là $$V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3R - h\right)$$ Diện tích mặt cong của chỏm là $$A_{\text{cong}} = 2\pi R h$$ trong khi mặt đáy tròn phẳng có diện tích \(A_{\text{đáy}} = \pi a^{2} = \pi h(2R - h)\). Tổng diện tích bề mặt là tổng của hai phần này: $$A_{\text{tổng}} = 2\pi R h + \pi h\left(2R - h\right)$$
Ví dụ minh họa
Lấy \(R = 10\) cm và \(h = 4\) cm. Khi đó $$a = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$$ Thể tích là $$V = \frac{\pi \times 16}{3}\left(30 - 4\right) = \frac{416}{3}\pi \approx 435{,}63 \text{ cm}^{3}$$ Diện tích mặt cong là \(2\pi \times 10 \times 4 = 80\pi \approx 251{,}33 \text{ cm}^{2}\), diện tích đáy là \(\pi \times 64 = 64\pi \approx 201{,}06 \text{ cm}^{2}\), và tổng diện tích bề mặt là \(144\pi \approx 452{,}39 \text{ cm}^{2}\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu h bằng 2R thì sao? Lúc này chỏm chính là toàn bộ khối cầu: \(V = \frac{4}{3}\pi R^{3}\), diện tích mặt cong \(= 4\pi R^{2}\), và bán kính đáy bằng 0.
Nếu h bằng R thì sao? Bạn sẽ có một bán cầu: \(V = \frac{2}{3}\pi R^{3}\), diện tích mặt cong \(= 2\pi R^{2}\), và \(a = R\).
Chiều cao chỏm có thể lớn hơn đường kính không? Không. Mặt phẳng cắt không thể lấy đi nhiều hơn cả khối cầu, vì vậy \(h\) phải thỏa mãn \(0 < h \le 2R\); những giá trị lớn hơn sẽ bị từ chối.
