Máy tính thể tích và diện tích bề mặt chỏm cầu (frustum bán cầu)

Nhập phép tính

Bán kính hình cầu r

Height h (h ≤ r)

Enter r and h in the same length unit. Constraint: 0 < h ≤ r (at most a hemisphere).

Công thức

Show calculation steps (2)

1. Total Surface Area

   

   Curved (cap) area plus flat circular base area; base radius a = sqrt(h(2r - h))

2. Base Radius

   

   Radius of the flat circular base of the cap

Kết quả

Thể tích V

0,654498

cubic length units (length³)

Tổng diện tích bề mặt S	5,497787 (length²)
Diện tích mặt cong (mái vòm)	3,141593
Diện tích đáy phẳng	2,356194
Bán kính đường tròn đáy a	0,866025

Chỏm cầu (frustum bán cầu) là gì?

Chỏm cầu là khối hình bạn nhận được khi cắt một hình cầu bán kính r bằng một mặt phẳng nằm ngang và giữ lại phần hình mái vòm phía trên (hoặc phía dưới) mặt cắt đó. Chiều cao h được đo từ mặt cắt phẳng lên đến đỉnh của hình cầu. Công cụ này giới hạn h không lớn hơn r, nên khối lớn nhất có thể tạo ra đúng bằng một nửa hình cầu (bán cầu). Mặt cắt tròn phẳng có bán kính a, với \(a^{2} = h(2r - h)\).

Chỏm cầu là phần của hình cầu bán kính r bị cắt bởi một mặt phẳng, với chiều cao chỏm h.

Cách sử dụng máy tính

Nhập bán kính hình cầu r và chiều cao chỏm h theo cùng một đơn vị độ dài (centimet, inch, mét — tùy bạn chọn; kết quả sẽ tính theo đơn vị đó lũy thừa ba và lũy thừa hai). Hãy đảm bảo \(0 < h \le r\). Máy tính sẽ trả về thể tích, tổng diện tích bề mặt (mái vòm cong cộng với đáy phẳng), cùng các giá trị trung gian hữu ích: diện tích mái vòm, diện tích đĩa đáy và bán kính đường tròn đáy a.

Giải thích các công thức

Thể tích chỏm cầu là $$V = \frac{\pi\, h^{2}}{3}\left(3\,r - h\right)$$ Phần bề mặt cong của hình cầu chính là đới cầu \(2\pi r h\), một kết quả gọn gàng do Archimedes tìm ra. Đáy phẳng là một hình tròn có diện tích \(\pi a^{2} = \pi h(2r - h)\). Cộng hai phần này lại, ta được tổng diện tích bề mặt $$S = 2\pi r h + \pi h(2r - h) = \pi h(4r - h)$$

Đại lượng chính: bán kính cầu r, chiều cao chỏm h, mặt cong (cầu) và đáy tròn phẳng.

Ví dụ minh họa

Với \(r = 1\) và \(h = 0{,}5\): $$a = \sqrt{0{,}5 \times 1{,}5} = \sqrt{0{,}75} \approx 0{,}8660$$ $$V = \pi \times \frac{0{,}25}{3} \times 2{,}5 = \pi \times 0{,}20833 \approx 0{,}65450$$ Diện tích mặt cong \(= 2\pi \times 1 \times 0{,}5 = \pi \approx 3{,}14159\). Diện tích đáy \(= 0{,}75\pi \approx 2{,}35619\). Tổng \(S = \pi \times 0{,}5 \times 3{,}5 = 1{,}75\pi \approx 5{,}49779\).

Câu hỏi thường gặp

Vì sao h bị giới hạn ở r? Công cụ gốc mô phỏng trường hợp “tối đa là một bán cầu”, nên nó giới hạn chiều cao bằng bán kính hình cầu. Về mặt toán học, một chỏm cầu có thể cao đến \(2r\), nhưng phiên bản này chỉ xét trong khoảng \(h \le r\).

Diện tích bề mặt có bao gồm đĩa phẳng không? Có. Tổng diện tích bề mặt được báo cáo là phần mái vòm cong cộng với mặt cắt tròn phẳng. Nếu bạn chỉ cần phần mái vòm, hãy dùng dòng diện tích mặt cong.

Điều gì xảy ra khi h = r? Bạn có một bán cầu hoàn hảo: \(V = \frac{2}{3}\pi r^{3}\), mái vòm \(= 2\pi r^{2}\), đáy \(= \pi r^{2}\).