Công cụ Lập bảng Tích phân Mũ Ei(x) là gì?
Công cụ này tạo ra một bảng tính tích phân mũ Ei(x) trên một dãy giá trị x cách đều nhau. Bạn chỉ cần chọn giá trị bắt đầu, độ lớn bước nhảy và số điểm cần tính, hệ thống sẽ tự động tính Ei tại từng giá trị x. Tích phân mũ là một hàm đặc biệt xuất hiện rộng rãi trong vật lý và kỹ thuật, chẳng hạn như truyền nhiệt bức xạ, mô phỏng chùm electron, cũng như phân tích tiệm cận của các tích phân.
Cách sử dụng
Hãy nhập giá trị ban đầu của x (hàng đầu tiên), lượng tăng thêm vào x cho mỗi hàng kế tiếp, và số điểm (số hàng). Giá trị x của hàng thứ n được tính theo công thức \(x_n = \text{startX} + n \cdot \text{stepX}\) với \(n = 0, 1, \dots, \text{pointCount}-1\). Công cụ trả về toàn bộ các cặp (x, Ei(x)) kèm theo bản tóm tắt nhanh hàng đầu và hàng cuối. Nếu bước nhảy bằng 0, cột x sẽ là hằng số; còn x = 0 không xác định vì Ei có điểm kỳ dị logarit tại đó.
Giải thích công thức
Chuỗi hội tụ được dùng ở đây là
$$\operatorname{Ei}(x_n) = \gamma + \ln|x_n| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x_n^{\,k}}{k \cdot k!}$$trong đó \(\gamma\) là hằng số Euler-Mascheroni \(0{,}5772156649\). Giá trị tuyệt đối trong \(\ln|x|\) kết hợp với các lũy thừa đan dấu của x sẽ cho ra Ei chính xác trên cả nhánh dương lẫn nhánh âm. Với \(|x|\) lớn (khoảng trên 40), chuỗi này gặp hiện tượng triệt tiêu sai số, nên thay vào đó ta dùng khai triển tiệm cận \(\operatorname{Ei}(x) \sim \frac{e^x}{x} \sum n!/x^n\).
Ví dụ minh họa
Với \(x = 1\): \(\ln|1| = 0\) và tổng của chuỗi xấp xỉ \(1{,}3179022\), nên $$\operatorname{Ei}(1) = 0{,}5772157 + 0 + 1{,}3179022 = 1{,}8951178,$$ đúng với giá trị tra bảng tiêu chuẩn. Tương tự, \(\operatorname{Ei}(2) = 4{,}9542344\) và \(\operatorname{Ei}(-1) = -0{,}2193839\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao x = 0 không xác định? Ei(x) có một điểm kỳ dị logarit tại gốc tọa độ (\(\ln|x|\) phân kỳ), nên giá trị được báo là không phải số (NaN).
Bảng kết quả chính xác đến đâu? Chuỗi này tái tạo các giá trị Ei tiêu chuẩn với độ chính xác gần như tối đa của máy đối với \(|x|\) ở mức vừa phải, còn phương án tiệm cận dự phòng giúp giữ ổn định khi đối số lớn.
Ei khác với E1 như thế nào? Hai hàm này liên hệ với nhau qua \(\operatorname{Ei}(x) = -E_1(-x)\) khi \(x < 0\); công cụ này trả về giá trị chính (principal value) của Ei.
