Tích phân logarit li(x) là gì?
Tích phân logarit, ký hiệu li(x), là một hàm đặc biệt được định nghĩa bằng tích phân của 1/ln(t) từ 0 đến x. Vì hàm dưới dấu tích phân có điểm kỳ dị tại t = 1, nên với x > 1 tích phân được hiểu theo nghĩa giá trị chính Cauchy. Đây là một hàm cốt lõi trong lý thuyết số giải tích: Định lý số nguyên tố khẳng định rằng hàm đếm số nguyên tố pi(x) tiệm cận với li(x), và li(x) chính là một trong những xấp xỉ đơn giản tốt nhất cho số lượng số nguyên tố nhỏ hơn x. Máy tính này dùng định nghĩa li(x) không bù (cận dưới bằng 0), chứ không phải biến thể Euler Li(x) = li(x) - li(2).
Cách sử dụng máy tính
Bạn nhập ba giá trị: giá trị x ban đầu, bước nhảy (step) cộng thêm ở mỗi dòng, và số lần lặp (số dòng). Công cụ sẽ dựng một bảng trong đó dòng thứ i có \(x = \text{startX} + i \times \text{step}\), kèm theo giá trị li(x) tương ứng. Đồng thời máy cũng vẽ đồ thị đường biểu diễn li(x) theo x. Để có kết quả thực có ý nghĩa, hãy chọn giá trị đầu lớn hơn 0; khoảng mặc định thường dùng là startX = 2, step = 0.2, 61 lần lặp, tức là lập bảng cho x từ 2.0 đến 14.0.
Giải thích công thức
Chúng ta tính li(x) = Ei(ln x), trong đó Ei là tích phân mũ:
$$\operatorname{li}(x_i) = \int_{0}^{x_i} \frac{dt}{\ln t} = \operatorname{Ei}(\ln x_i)$$Hàm Ei(z) được tính bằng chuỗi hội tụ
$$\operatorname{Ei}(z) = \gamma + \ln|z| + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\cdot k!}$$với \(\gamma = 0{,}5772156649\ldots\) là hằng số Euler-Mascheroni. Chuỗi được cộng dồn cho đến khi mỗi số hạng trở nên không đáng kể so với tổng đang tích lũy. Các trường hợp biên tuân theo quy ước chuẩn: x ≤ 0 trả về 0, còn x = 1 trả về âm vô cùng (điểm kỳ dị).
Ví dụ minh họa
Với x = 2, ta có \(z = \ln 2 = 0{,}6931472\). Cộng gamma + ln|z| + chuỗi cho ra \(\operatorname{Ei}(0{,}6931472) = 1{,}0451638\), nên \(\operatorname{li}(2) = 1{,}04516378011749\), trùng khớp với giá trị tham chiếu đã công bố. Nghiệm thực dương duy nhất của li(x) nằm tại \(x = 1{,}45136923488\) (hằng số Ramanujan-Soldner), tại đó li(x) = 0.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao li(x) tăng vọt gần x = 1? Hàm 1/ln(t) có điểm kỳ dị tại t = 1, do đó li(1) = -vô cùng và giá trị hàm biến thiên rất nhanh quanh điểm này.
Đây là li(x) hay Li(x)? Đây là li(x) không bù với cận dưới bằng 0. Phiên bản có bù Li(x) sẽ trừ đi li(2).
Nếu giá trị đầu của tôi bằng 0 hoặc âm thì sao? Với x ≤ 0, tích phân logarit thực không được định nghĩa, nên máy tính trả về 0 cho những dòng đó.
