ما هو التكامل اللوغاريتمي li(x)؟
التكامل اللوغاريتمي، ويُرمز له بـ \(\operatorname{li}(x)\)، هو دالة خاصة تُعرَّف بأنها تكامل المقدار \(1/\ln(t)\) من 0 إلى \(x\). وبما أن المُكامَل يحتوي على نقطة شاذة عند \(t = 1\)، فإن التكامل عند \(x > 1\) يُؤخذ بصيغة «القيمة الأساسية لكوشي». وتحتل هذه الدالة موقعاً محورياً في نظرية الأعداد التحليلية: إذ تنص مبرهنة الأعداد الأولية على أن دالة عدّ الأعداد الأولية \(\pi(x)\) تقاربية مع \(\operatorname{li}(x)\)، وتُعدّ \(\operatorname{li}(x)\) من أفضل التقريبات البسيطة لعدد الأعداد الأولية الأصغر من \(x\). تعتمد هذه الحاسبة على تعريف \(\operatorname{li}(x)\) الخالي من الإزاحة (بحد سفلي يساوي 0)، وليس على الصيغة الأويلرية \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ثلاث قيم: قيمة \(x\) الابتدائية، ومقدار الزيادة (الخطوة) المضاف في كل صف، وعدد التكرارات (الصفوف). تبني الأداة جدولاً يكون فيه الصف رقم \(i\) ذا قيمة \(x = \text{startX} + i \times \text{step}\) مع قيمة \(\operatorname{li}(x)\) المقابلة لها. كما يُرسَم خط بياني يُظهر \(\operatorname{li}(x)\) مقابل \(x\). وللحصول على ناتج حقيقي ذي معنى اختر قيمة بداية أكبر من 0؛ والمدى الافتراضي الشائع هو \(\text{startX} = 2\) و\(\text{step} = 0.2\) و61 تكراراً، وهو ما يولّد قيم \(x\) من 2.0 وحتى 14.0.
شرح الصيغة الرياضية
نحسب \(\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\)، حيث \(\operatorname{Ei}\) هي التكامل الأسي. ويُحسب \(\operatorname{Ei}(z)\) عبر المتسلسلة المتقاربة $$\operatorname{Ei}(z) = \gamma + \ln|z| + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\cdot k!},$$ حيث \(\gamma = 0.5772156649\ldots\) هو ثابت أويلر-ماشيروني. تُجمع حدود المتسلسلة حتى يصبح كل حد مهملاً مقارنةً بالمجموع التراكمي. وتتبع الحالات الحدّية الأعراف القياسية: فعند \(x \le 0\) تُرجِع الدالة 0، وعند \(x = 1\) تُرجِع سالب ما لا نهاية (النقطة الشاذة).
مثال محلول
عند \(x = 2\) يكون \(z = \ln 2 = 0.6931472\). وبجمع \(\gamma + \ln|z| +\) المتسلسلة نحصل على \(\operatorname{Ei}(0.6931472) = 1.0451638\)، ومن ثمّ $$\operatorname{li}(2) = 1.04516378011749,$$ وهو ما يطابق القيمة المرجعية المنشورة. أما الجذر الحقيقي الموجب الوحيد للدالة \(\operatorname{li}(x)\) فيقع عند \(x = 1.45136923488\) (وهو ثابت رامانوجان-سولدنر)، حيث \(\operatorname{li}(x) = 0\).
الأسئلة الشائعة
لماذا تنفجر قيمة li(x) قرب x = 1؟ لأن المُكامَل \(1/\ln(t)\) شاذٌّ عند \(t = 1\)، لذا فإن \(\operatorname{li}(1) = -\infty\)، وتتغير الدالة بسرعة كبيرة حول تلك النقطة.
هل هذه li(x) أم Li(x)؟ هذه هي \(\operatorname{li}(x)\) غير المُزاحة ذات الحد السفلي 0. أما الصيغة المُزاحة \(\operatorname{Li}(x)\) فتطرح منها \(\operatorname{li}(2)\).
ماذا لو كانت قيمة البداية لديّ 0 أو سالبة؟ عند \(x \le 0\) لا يكون التكامل اللوغاريتمي الحقيقي مُعرّفاً، لذا تُرجِع الحاسبة القيمة 0 لتلك الصفوف.
